Descenso de una representación sobre campo finito

Question

Dejemos que $p$ sea un número entero primo, y $q$ un poder de $p$ . Dejemos que $\mathbb{F}_p$ y $\mathbb{F}_q$ sean los campos finitos correspondientes. Supongamos que \begin {Ecuación} \rho : G \longrightarrow GL_2( \mathbb {F}_q) \end {Ecuación} es una representación del grupo finito $G$ . Ahora bien, si sabemos que para cada elemento $g\in G$ el polinomio característico $\rho(g)$ se define sobre $\mathbb{F}_p$ . ¿Podemos concluir que podemos descender $\rho$ como $\mathbb{F}_p$ -representación, es decir, ¿podemos encontrar una representación \begin {Ecuación} \rho ': G \longrightarrow GL_2( \mathbb {F}_p) \end {Ecuación} tal que $\rho'\otimes \mathbb{F}_q=\rho$ ?

Si la respuesta es no. ¿Qué tal la situación cuando $\rho$ es una representación abeliana?

Si la respuesta sigue siendo negativa, ¿qué tipo de condiciones necesitamos para dar una respuesta positiva? Gracias.

Answer 1

Como se ha dicho, existe un contraejemplo no sencillo: tomemos $G$ para ser el grupo aditivo $\mathbb{F}_q$ con una representación unipotente $\rho(a)=\left(\begin{matrix}1 & a\\ 0 & 1\end{matrix}\right)$ . Su carácter es trivial pero no está definido sobre $\mathbb{F}_p$ porque $GL_2(\mathbb{F}_p)$ no tiene una orden $p^2$ subgrupo.

Si asumimos que $\rho$ es semi-simple entonces la respuesta es positiva.

En primer lugar, supongamos además que $\rho$ es absolutamente irreductible. En general, dejemos que $L/K$ sea una extensión de Galois finita y $\rho:G\to GL_n(L)$ sea una representación irreducible con el polinomio característico de cualquier elemento $\rho(g)$ definido sobre $K$ . Para cualquier elemento $\sigma\in Gal(L/K)$ las representaciones $\sigma(\rho)$ y $\rho$ son representaciones semisimples con polinomios característicos iguales, por lo que son isomorfas (Álgebra de Bourbaki, Capítulo 8, §20.6 Corolario 1 a thm 2) y el isomorfismo es único hasta un escalar por el lema de Schur. Esto da un elemento $A(\sigma)\in PGL_n(L)$ por cada $\sigma\in Gal(L/K)$ y por la unicidad de los operadores de entrelazamiento estas matrices forman un cociclo en $H^1(Gal(L/K),PGL_n(L))$ . Si este cociclo resulta ser trivial, es decir, hay un elemento $B\in PGL_n(L)$ tal que $A(\sigma)=\sigma(B)B^{-1}$ entonces $B^{-1}\rho B$ es una representación invariante bajo todos los elementos $\sigma$ y es el descenso deseado.

El grupo $H^1(Gal(L/K),PGL_n(L))$ inyecta en el grupo de Brauer $Br(K)$ . Si $K$ es un campo finito, entonces $Br(K)$ desaparece y también lo hace el grupo $H^1(Gal(L/K),PGL_n(L))$ lo que implica la desaparición del obstáculo al descenso de nuestra representación.

Si $\rho$ no es absolutamente irreducible sino que es semisimple (siendo semisimple sobre $\mathbb{F}_q$ y más $\overline{\mathbb{F}_q}$ son condiciones equivalentes) entonces, después de ampliar posiblemente $q$ se convierte en isomorfo a una suma directa de dos caracteres $\chi_1\oplus\chi_2$ tal que $\chi_1(g)$ y $\chi_2(g)$ son raíces de un polinomio cuadrático con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ . Por lo tanto, estos caracteres deben ser definidos sobre $\mathbb{F}_p$ ya o ser definido sobre $\mathbb{F}_{p^2}$ tal que $\overline{\chi_1}=\chi_2$ donde $\overline{\bullet}$ es el automorfismo no trivial de esta extensión cuadrática. La representación $\rho$ es entonces isomorfo al cambio de base de $G\xrightarrow{\chi_1}\mathbb{F}_{p^2}^{\times}\to GL_2(\mathbb{F}_p)$