Todas las demás respuestas anteriores son válidas. Permítanme añadir un punto, que a menudo es útil recordar en el mundo de las distribuciones. La expresión
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x) dx $$ debe no se lea como una integral. De hecho, como tú mismo has notado, no hay ninguna función que sea 0 en todas partes excepto en un único punto pero que tenga una integral distinta de cero. Simplemente no tiene sentido. Lo que realmente estamos tratando de evaluar aquí es "la acción de $\delta$ en un genérico $\mathcal{C}^{\infty}_0$ función $f$ ". Por lo tanto, estoy pensando en $\delta$ como un objeto que puedo aplicar a una función, para devolverme un número real. En general, la "acción" de un objeto de este tipo $g$ se escribe de forma más distintiva (y algo menos confusa) como
$$ \langle g, f\rangle $$ que también se llama "emparejamiento". Estos objetos se denominan distribuciones . De manera algo más formal, las distribuciones son funciones lineales sobre $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n):=C^\infty_0(\mathbb{R}^n)$ (el conjunto de funciones continuas con soporte compacto) que son continuas (con respecto a la norma uniforme en $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ ), y el espacio de las distribuciones se denota con $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ . Para que la notación del emparejamiento sea aún menos confusa (nótese que, tal y como lo escribí, podría confundirse como un producto interno), podemos hacer la notación más clara (a costa de la ligereza) y escribir
$$ _{\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)}\langle g,f\rangle _{\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)} $$ para subrayar el hecho de que $f$ y $g$ son objetos diferentes y que esto no es un producto interno.
Hay (creo) dos razones por las que a veces seguimos utilizando el signo integral para las distribuciones: primero, es más ligero (ya que estamos acostumbrados a verlo) y nuestro ojo puede recorrer los pasos más rápidamente sin perderse en la notación; segundo, en algunos casos, como $g\in L^2(\mathbb{R})$ el mapa que asigna a cada $f\in C^\infty_0(\mathbb{R})$ el número real
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx $$ está bien definida (debido a la desigualdad de Schwarz). Por tanto, recordando la analogía con la integración (que es un caso particular de "emparejamiento"), los matemáticos suelen utilizar el símbolo de integral, aunque el emparejamiento no pueda interpretarse como una integral.