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Función de impulso unitaria integradora

Dado que,

$$ \delta(t) = \begin{cases} \infty & \text{if } t = 0 \\ 0 & \text{if } t \ne 0\\ \end{cases}$$

¿Cómo es eso?

(A)

$$ \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = 1 $$

(B)

$$ \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t) dt = f(0) $$ considerando $f$ continuos en $t=0$

Gracias de antemano

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Anders Eurenius Puntos 2976

La "función delta" no puede definirse realmente como una función. Puede interpretarse como una distribución o como medir .

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Zach466920 Puntos 3631

¿Puedo asumir que eres físico y evitar un poco las complejidades matemáticas?

La integral encuentra el área bajo las funciones. $\delta(x)$ es un rectángulo muy delgado y muy alto. De hecho, su anchura es $\epsilon$ y su altura es $\omega$ por lo que el área viene dada por $ \epsilon \cdot \omega$ . La variable $\epsilon={1 \over {\omega}}$ Así que $ \epsilon \cdot \omega=1$ . Sólo dejarías que $\omega \to \infty$ para obtener la integral de $\delta(x)$ . Utilizando esto, te animo a averiguar la respuesta a tu otra pregunta.

Más matemáticas aquí. La "función" delta no es una función en ningún sentido típico. No es continua, diferenciable o integrable en el sentido de Riemann.

Sin embargo, si se define como una medida, se puede analizar de forma más rigurosa. Una medida, es básicamente una forma de asignar masa, o peso, a subconjuntos del eje x. Por ejemplo, la forma de integrar la densidad es un buen ejemplo de medida. También hay cierta similitud con las distribuciones.

Definir la medida $\delta(dx)$ para ser $1$ si $dx$ incluye el valor $0$ y $0$ en caso contrario. Utilizando esta definición, se puede integrar con respecto a la medida. Haciendo esto, se obtiene

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ \delta(dx)=f(0)$$

Aquí hay más información sobre el Función delta de Dirac Si lo desea, pase a la sección "Como medida".

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Chad Carisch Puntos 126

Una forma de ver esto es aproximando la función delta de Dirac $\delta(t)$ por una secuencia de funciones continuas. Una elección conveniente de funciones de aproximación es el conjunto de núcleos gaussianos (es decir, distribuciones normales) con varianza decreciente.

Déjalo,

\begin {align} f_n(t) &= \frac {1}{ \sigma_n \sqrt {2 \pi }} e^{- \frac {t^2}{2 \sigma_n ^2}}, \end {align}

para números enteros positivos $n$ . Dejamos que $\sigma_n = \frac{1}{n}$ para que la varianza se acerque a cero a medida que $n$ crece de forma arbitraria.

Se puede ver que una la secuencia $\{f_n\}$ converge puntualmente a la función delta de Dirac $\delta(t)$ . Hay algunos puntos sutiles que no voy a mencionar aquí; pero, si trazas esta secuencia, al menos ganarás algo de intuición.

Dado que la secuencia $\{f_n\}$ es una secuencia de distribuciones de probabilidad, tenemos:

\begin {align} \lim_ {n \to \infty } \int_ {- \infty }^{ \infty }{f_n(t)dt} &= \lim_ {n \to \infty } \int_ {- \infty }^{ \infty } { \frac {1}{ \sigma_n \sqrt {2 \pi }} e^{- \frac {t^2}{2 \sigma_n ^2}}} \\ &= \lim_ {n \to \infty } 1 \\ &= 1. \end {align}

De nuevo, he omitido algunos detalles aquí. Para entender esto con todo el rigor matemático, deberías hacer un curso de teoría de la medida.

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bartgol Puntos 3039

Todas las demás respuestas anteriores son válidas. Permítanme añadir un punto, que a menudo es útil recordar en el mundo de las distribuciones. La expresión

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x) dx $$ debe no se lea como una integral. De hecho, como tú mismo has notado, no hay ninguna función que sea 0 en todas partes excepto en un único punto pero que tenga una integral distinta de cero. Simplemente no tiene sentido. Lo que realmente estamos tratando de evaluar aquí es "la acción de $\delta$ en un genérico $\mathcal{C}^{\infty}_0$ función $f$ ". Por lo tanto, estoy pensando en $\delta$ como un objeto que puedo aplicar a una función, para devolverme un número real. En general, la "acción" de un objeto de este tipo $g$ se escribe de forma más distintiva (y algo menos confusa) como

$$ \langle g, f\rangle $$ que también se llama "emparejamiento". Estos objetos se denominan distribuciones . De manera algo más formal, las distribuciones son funciones lineales sobre $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n):=C^\infty_0(\mathbb{R}^n)$ (el conjunto de funciones continuas con soporte compacto) que son continuas (con respecto a la norma uniforme en $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ ), y el espacio de las distribuciones se denota con $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ . Para que la notación del emparejamiento sea aún menos confusa (nótese que, tal y como lo escribí, podría confundirse como un producto interno), podemos hacer la notación más clara (a costa de la ligereza) y escribir

$$ _{\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)}\langle g,f\rangle _{\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)} $$ para subrayar el hecho de que $f$ y $g$ son objetos diferentes y que esto no es un producto interno.

Hay (creo) dos razones por las que a veces seguimos utilizando el signo integral para las distribuciones: primero, es más ligero (ya que estamos acostumbrados a verlo) y nuestro ojo puede recorrer los pasos más rápidamente sin perderse en la notación; segundo, en algunos casos, como $g\in L^2(\mathbb{R})$ el mapa que asigna a cada $f\in C^\infty_0(\mathbb{R})$ el número real

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx $$ está bien definida (debido a la desigualdad de Schwarz). Por tanto, recordando la analogía con la integración (que es un caso particular de "emparejamiento"), los matemáticos suelen utilizar el símbolo de integral, aunque el emparejamiento no pueda interpretarse como una integral.

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