Esta es probablemente una pregunta ingenua. ¿Cuál es un ejemplo de un módulo no libre finitamente generado $M$ sobre algún anillo polinómico de Laurent $$ L_n=K[X_1,X_1^{-1},\ldots,X_n,X_n^{-1}] $$ donde $K$ es un campo. Sería bueno tener un ejemplo con $n=1$ .
Por un teorema duro de Swan todo módulo proyectivo finitamente generado sobre $L_n$ es libre y por tanto basta con encontrar un módulo no proyectivo.
Desde $L_n$ es un dominio conmutativo, se puede utilizar cualquier cociente de $L_n$ por un ideal no trivial, digamos $I$ .
$L_n/I$ no puede ser proyectiva ya que eso implicaría que esta corta secuencia exacta se divide: $$ 0\to I\to L_n\to L_n/I\to 0 $$
Pero los ideales no triviales de los dominios no pueden ser sumandos.
Para cualquier anillo $R$ con un ideal derecho máximo $M$ , $R/M$ va a ser libre si $R/M=R$ es un simple derecho $R$ en cuyo caso es un anillo de división. Así, $R/M$ nunca es gratis para cualquier anillo que no sea de división $R$ . (Y por supuesto, es cíclico).
En cuanto a la pregunta, no hay nada especial en el anillo de polinomios de Laurent.
Para un anillo conmutativo $R \neq 0$ , los siguientes son equivalentes:
Si estas declaraciones son $1,\dotsc,6$ entonces $1 \Rightarrow 2$ se desprende del lema de Zorn, $2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4$ son triviales, $4 \Rightarrow 5$ se deduce de la observación de que los módulos libres tienen aniquilador $0$ (en caso de rango $>0$ ) o $R$ (rango $=0$ ), y $5 \Rightarrow 6 \Rightarrow 1$ son triviales.
Por supuesto $k[X,X^{-1}]$ no es un campo, véase aquí por varias razones. Desenrollando las pruebas, uno encuentra por ejemplo que el $k[X,X^{-1}]$ -Módulo $k[X,X^{-1}]/(X-1) \cong k$ no es gratis.
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