Cómo encontrar la suma de $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{3^n}{n5^n}$ ?

Question

En particular, es el $\frac{1}{n}$ término que me despista; sin él, es una simple serie geométrica, pero tenía la impresión de que, a grandes rasgos, las únicas sumas infinitas cuyo valor podíamos calcular eran geométricas o telescópicas. Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Integración de la serie $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant0}x^n=\frac1{1-x}$ se obtiene $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}\frac{x^n}n=-\log(1-x)$ por cada $|x|\lt1$ . Utilice esto para un valor específico de $x$ ...

...a saber, $x=-\dfrac35$ .