¿Por qué es $M_n(A)$ un álgebra de von Neumann

Question

Estoy tratando de verificar que para cada álgebra de von Neumann $A$ el álgebra de las matrices con entradas en $A$ es de nuevo von Neumann.

Ya sé que este tipo de álgebras matriciales son también álgebras C-*.

Prefiero un argumento básico que implique sólo la cerrazón débil o fuerte sobre otros.

Gracias.

Answer 1

Si $A\subset B(H)$ , consideras que $M_2(A)\subset B(H\oplus H)$ . Ahora es un ejercicio estándar, después de notar que $B(H\oplus H)$ puede identificarse con $M_2(B(H))$ que $$ M_2(A)'=\left\{\begin{bmatrix} a&0\\0&a\end{bmatrix}:\ a\in A' \right\}, $$ y luego que $$ M_2(A)''=M_2(A'')=M_2(A). $$

Answer 2

Fuerte convergencia de una red en $M_n(A)$ es equivalente a la convergencia fuerte de entrada.

Supongamos que $x_\lambda$ es una red en $M_n(A)$ convergiendo fuertemente a $x \in B(H^n)$ . Dejemos que $h,k \in H$ y $1 \leq i,j \leq n$ . Sea $\xi \in H^n$ sea el vector que tiene $h$ en el $i$ -a componente y $0$ en otro lugar, y que $\eta \in H^n$ que tiene $k$ en el $j$ -a componente y $0$ Si no. Entonces, en particular $\langle x_\lambda \xi, \eta \rangle \to \langle x \xi, \eta \rangle$ . Pero esto sólo significa $\langle (x_\lambda)_{ij} h ,k \rangle \to \langle x_{ij} h, k \rangle$ .

De ello se desprende que $x_{ij} \in A$ .