Trabajo con índices de tensores en relatividad especial

Question

Estoy tratando de entender la notación tensorial y el trabajo con índices en la relatividad especial. Para ello utilizo un libro en el que $\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$ se utiliza para el tensor métrico y se transforma un vector según la regla $$x'^\mu= \Lambda^\mu{}_{\alpha}x^\alpha$$ (transformación de Lorentz).

Creo que entiendo lo que ocurre hasta ahora, pero ahora me cuesta entender cómo funciona la siguiente fórmula:

$$\eta_{\nu\mu}\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\eta^{\alpha\kappa} ~=~ \Lambda_{\nu}{}^{\kappa}$$

¿Por qué no es igual a (por ejemplo) $\Lambda^{\kappa}{}_{\nu}$ ? Además, me cuesta entender cuál es la diferencia entre $\Lambda_\alpha^{\ \ \beta}$ , $\Lambda_{\ \ \alpha}^\beta$ , $\Lambda^\alpha_{\ \ \beta}$ y $\Lambda^{\ \ \alpha}_\beta$ (orden y posición de los índices). Y si escribimos los tensores como matrices, ¿qué índices representan las filas y cuáles las columnas?

Espero que alguien pueda aclararme esto.

Answer 1

Con la notación de índices tensoriales, cada "ranura" es distinta y puede subir y bajar por separado. Así, $\eta^{\kappa\alpha}\Lambda^\mu_{\ \ \alpha} = \Lambda^{\mu\kappa}$ . Entonces $\Lambda^{\mu\kappa}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_\nu^{\ \ \kappa}$ .

Al representar estos objetos como matrices, la convención habitual es que el primer índice es la fila y el segundo la columna.

Hay que tener cuidado de respetar la convención al convertir una ecuación en notación tensorial en álgebra lineal con su representación matricial. Si tuviéramos una ecuación como $A_{ij} = C^{k}{}_{j}B_{ik}$ podríamos representarlo con matrices $\bf{A}= \bf{B}\bf{C}$ . Fíjate en el intercambio para que la multiplicación matricial represente correctamente la ecuación (si te fijas en los cuatro índices de los componentes del tensor multiplicado, debería parecer que los dos interiores están repetidos... en este caso $B_{ik}C^{k}{}_{j}$ ).