No entender el signo menos en la ecuación del par de un péndulo simple

Question

La imagen de arriba es de Introducción a la mecánica de Kleppner. En la ecuación del par justifican el signo menos porque el par tiene un sentido horario. Esto tiene sentido para mí si elijo el eje y para ser hacia arriba y el eje x para apuntar a la derecha en el esquema dado en el libro. Entonces, el par apuntaría en la dirección z negativa. ¿Pero qué pasa si elijo que el eje y apunte hacia abajo? Entonces el par apuntaría en la dirección z positiva y por tanto mi par sería positivo, lo que me daría una ecuación diferencial completamente diferente para el mismo sistema. ¿Y qué pasa cuando el péndulo baja desde el otro lado? Entonces tiene un "sentido contrario a las agujas del reloj" y el par debería ser positivo. Todo esto me resulta muy confuso.

Answer 1

Esto tiene sentido para mí si elijo el eje y para ser hacia arriba y el x hacia la derecha en el esquema del libro. Entonces, el par de torsión apuntaría en la dirección z negativa.

En el diagrama $x$ puntos menos, $y$ apunta a la derecha (convencionalmente). (Ver: coordenadas polares )

¿Pero qué pasaría si eligiera que mi eje Y apuntara hacia abajo? Entonces el par de torsión apuntaría en la dirección z positiva y así mi par sería positivo, lo que me daría una ecuación diferencial completamente diferente ecuación diferencial para el mismo sistema.

Invertir la dirección de $y$ manteniendo la dirección de $x$ equivale a redefinir la dirección positiva del $\phi$ coordenadas. Por lo tanto, en lugar de que el signo negativo se desprenda del producto cruzado, surge de que el ángulo es negativo: $\tau_a=Wr_\perp=Wl\sin(-\phi)=-Wl\sin\phi$ .

¿Y qué pasa cuando el péndulo baja desde el otro lado? Entonces tiene un "sentido contrario a las agujas del reloj" y el par debería ser positivo.

Este escenario es el mismo que el anterior.

Answer 2

Cómo conseguir corregir la ecuación del par:

I) usted elige la rotación arbitraria del péndulo, mi elección es en el sentido de las agujas del reloj positivo (flecha azul).

II) el par de inercia tiene un sentido opuesto al de su elección de rotación del péndulo

III) el par de la masa es en el sentido de las agujas del reloj

IV) tomar la suma del par igual a cero.

$$\sum\tau_+=-\tau_I+\tau_{mg}=-I_a\ddot{\phi}-m\,g\,l\sin(\phi)=0$$

Editar:

el "par de masas" es negativo porque la coordenada y está hacia arriba ( $-m\,g$ )