¿Puede la derivada de una función real absolutamente continua tener una discontinuidad simple?

Question

Si $f'$ existe en todas partes, entonces sabemos que no puede tener discontinuidades simples. Pero en este caso sólo sabemos que $f'$ existe a.e. (ya que $f$ es absolutamente continua).

Más concretamente, también he asumido que $f'$ es creciente (en el conjunto donde se define). En este caso, $f'(x+)$ existe en todas partes, y he estado preguntando si puede haber un punto $x$ tal que $f'(x)$ existe pero $f'(x)<f'(x+)$ . (Sabemos que esto no puede ocurrir si $f$ es diferenciable en $[x, x+\epsilon)$ .)

Answer 1

No, $f'(x)$ no puede tener discontinuidades simples.

Teorema

Dejemos que $f(x)$ sea diferenciable en algún intervalo $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ .

Si $\lim_{x \to a^+}f'(x)$ existe, entonces es igual a $f'_+(a)$ (la derivada derecha), lo mismo para la derivada izquierda. (Lo demostraré a continuación)

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Consecuencia:

Porque una simple discontinuidad en $c\in(a,b)$ implica la existencia de límites laterales $\lim_{x \to c^+}f'(x)$ y $\lim_{x \to c^-}f'(x)$ y porque $f$ es diferenciable en $c \ $ $\left(f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)\right)$ se deduce del teorema anterior que

$$\lim_{x \to c^+}f'(x) = f'_+(c) = f'(c) = f'_-(c) = \lim_{x \to c^-}f'(x)$$

Y así $f'$ no puede tener una simple discontinuidad.

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Prueba del teorema anterior: $$ f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}, $$

Ahora bien, si se aplica el MVT en el intervalo $[a,a+h]$ ,

\begin {Ecuación} \frac {f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a +h \theta ) \end {Ecuación}

donde $\theta \in (0,1)$

Porque $\lim_{x \to a^+}f'(x) = L$ existe,

$$ \lim_{h \to 0^+}f'(a +h\theta) = L = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'_+(a) $$

Answer 2

Creo que $f(x) = |x|$ es un contraejemplo. La derivada existe excepto en $x = 0$ pero es discontinuo allí.