¿Los mapas que preservan localmente la colinealidad son homógrafos?

Question

Pregunta

Supongamos que $D\subseteq\mathbb R^2$ es un disco abierto (o en general un dominio simplemente conectado con bueno límite), y $f\colon D\to D$ es una biyección tal que las imágenes de los puntos colineales son a su vez colineales. ¿Es cierto que $f$ siempre podría extenderse en un homógrafo $\tilde f\colon\mathbb R\mathbb P^2\to\mathbb R\mathbb P^2$ ?

Antecedentes

Se sabe que las isometrías del modelo Cayley-Klein $\mathbb D^2$ del plano hiperbólico son inducidas por homografías. A la inversa, si una homografía fija el círculo unitario y mapea $\mathbb D^2$ a $\mathbb D^2$ entonces induce una isometría del plano hiperbólico. La prueba depende de la métrica.

Necesito saber si es cierta una proposición general, es decir, que se puede extender una colineación local a una colineación global, por tanto una homografía en el plano proyectivo real.

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Yo diría que la proposición se mantiene.

Empieza por elegir un cuadrilátero convexo $ABCD$ y utilizar sus esquinas para definir $E=AB\wedge CD$ , $F=AD\wedge BC$ y $G=AC\wedge BD$ . Elija los cuatro primeros puntos de tal manera que todos estos puntos se encuentren dentro de su región $R$ (que renombro desde que usé $D$ para un punto). Ahora supongamos que tenemos una colineación que fija $A, B, C, D$ . Entonces se arreglará $E, F, G$ y puedes hacer bisecciones iterativas para demostrar que fija cualquier punto del cuadrilátero $ABCD$ también es fijo:

Es posible que se necesite un número infinito de bisecciones para dar con algunos puntos "irracionales", pero se puede demostrar que las colineaciones preservarán el orden y, por tanto, también deben fijar cualquier punto que surja como límite de secuencias infinitas.

Ahora suponga que tiene una colineación que mapea $R$ sobre sí mismo y $A,B,C,D$ sobre algunos otros puntos $A',B',C',D'$ . Entonces existe una homografía única que mapea $A',B',C',D'$ a $A,B,C,D$ . Si puedes demostrar que este mapa combinado es la identidad, entonces habrás demostrado que la primera colineación tiene que ser también una homografía, es decir, la inversa de la segunda.

Para demostrarlo, consideremos el caso de $R$ siendo convexo. Entonces se puede describir cada punto como la intersección de dos líneas distintas que intersecan el interior de $ABCD$ . Dado que los puntos en $ABCD$ permanecen fijas, las líneas también permanecen fijas, al igual que su intersección. Por lo tanto, si $R$ es convexo, entonces cada punto tiene que permanecer fijo bajo la transformación combinada.

Si $R$ no es convexo, entonces podría tener que describir puntos lejanos como la intersección entre líneas que a su vez están definidas por otros puntos y así sucesivamente, hasta terminar con un conjunto de puntos definitorios en $ABCD$ . Supongo que habría que trabajar en los detalles, para ver qué condición tiene que satisfacer exactamente un "buen" límite, pero estoy bastante seguro de que cualquier disco topológico debería servir.