Encuentra el número de triángulos formados por 2 puntos paralelos y un punto no colineal.

Question

En un plano hay 11 puntos, de los cuales 5 se encuentran en una recta y otros 5 en una segunda recta paralela a la primera. El punto restante no es colineal con ninguno de los 10 puntos anteriores. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices elegidos de estos 11 puntos?

a) 85
b) 105
c) 125
d) 145

He calculado el número de triángulos de la siguiente manera: Tomado un punto de la primera línea, puede formar 5 triángulos con el punto no colineal y los 5 puntos de su línea paralela opuesta. Por lo tanto, los 5 puntos de la primera línea pueden formar 5 x 5 = 25 triángulos. Del mismo modo, los puntos de la segunda línea pueden formar 25 triángulos. Por lo tanto, los 10 puntos de ambas líneas pueden formar 25 x 25 = 125 triángulos.

Pero, la respuesta a la pregunta es 145 triángulos. ¿En qué me he equivocado al calcular el número?

Answer 1

Consideremos primero los triángulos con dos vértices en la primera línea. Hay $10$ posibles pares de puntos en esta línea, para que puedan formar $60$ triángulos ( $50$ con el tercer vértice en la segunda línea y $10$ con el tercer vértice en el punto no colineal).

Consideremos ahora los triángulos con dos vértices en la segunda línea. Por la simetría del problema, éstos son $60$ también.

Por último, considera los triángulos que no tienen dos vértices en la misma línea. Estos triángulos tienen claramente un vértice en la primera línea, otro en la segunda y el tercero en el punto no colineal. Como podemos elegir cualquiera de los $5$ puntos en cada línea, el número de estos triángulos es $5^2=25$ .

Así, el número total es $60+60+25=145$ .