Ecuación diferencial de primer orden con función inversa

Question

Me pregunto si hay una manera de resolver una ecuación diferencial de la siguiente forma:

$$\displaystyle \frac{f'(x)}{x} = \frac{1}{f^{-1}(x)} + \frac{1}{k}$$

Podemos suponer que $f(x): [0,T] \to (-\infty,T]$ es una función monótona no decreciente con $f(T) = T$ . Además, $f(x) \le x$ para todos $x \in [0,T]$ y $0<k<\infty$ .

---

Para aclarar el contexto, la ecuación diferencial proviene del siguiente problema:

Encuentre el valor de $f(x)$ tal que

$$\int_{f(x)}^x k dt + \int_x^T k\left(1-\frac{t}{f^{-1}(t)}\right) = \int_x^Tt\ dt$$

Como podemos ver claramente, cuando $x$ está muy cerca de $T$ . el valor de $f(x)$ debe estar cerca del valor de $x$ ya que sabemos que $f^{-1}(x) \ge x$ y la segunda integral en el LHS es cercana a cero. Como la integral de la derecha también es cercana a cero, debemos tener $x$ cerca de $f(x)$ . De hecho, podemos demostrar $f(T)=T$ .

El problema se planteó originalmente en una forma más general con $g(x)$ una función creciente en $[0,T]$ . $$\int_{f(x)}^x k dt + \int_x^T k\left(1-\frac{g(t)}{g(f^{-1}(t))}\right) = \int_x^Tg(t)\ dt$$

Answer 1

Esto es algo muy rápido, no lo he hecho bien. Lo he resuelto al revés numéricamente con $T=1, k=1/2$ en excel (!!) con un tamaño de paso de 0,0001, con una simple recursión de Euler. Será lo suficientemente preciso a la izquierda de $x=1/2$ pero eso no muestra mucho... Sin embargo, eso es más o menos lo que parecerá.

Answer 2

Sin esperar una solución analítica exacta, la forma más sencilla es probablemente resolverlo gracias a un método numérico, como lo hizo coolydudey60.

Una posible vía analítica es proceder al desarrollo en serie en las proximidades de $x=T$ . Por ejemplo, la fórmula de la serie de 3 grados se muestra a continuación. Esta función $f(x)$ dibujado en el caso $T=1$ , $k=\frac{1}{2}$ aparece en un acuerdo bastante bueno con el resultado correspondiente dado por coolydudey60.

Para los valores de $x$ lejos de $T$ La serie no es lo suficientemente precisa porque se necesitarían más términos. Pero al aumentar el número de términos de la serie se complica cada vez más porque es una tarea ardua y aburrida calcular la serie inversa.

Por tanto, desde un punto de vista práctico, debería ser más sencillo y fiable utilizar un método numérico para resolver la EDO.

Añadido en la figura : Comparación con un método puramente numérico (elementos finitos $dx=0.0001$ )

Posteriormente, con la ayuda de un programa informático de cálculo formal, obtuve el cuarto término de la serie :

La siguiente figura da una idea de la convergencia de la serie. Se ve que es necesario un gran número de términos si se espera una precisión suficiente en el rango de $x$ cerca de $0$ .

Answer 3

Esto no es realmente una respuesta, pero quizá aporte algo a la discusión. De todos modos, estoy confundido, y permítanme explicar por qué.

Si se sustituye por $x=f(t)$ en tu ecuación obtienes $$ \frac{f'(f(t))}{f(t)}=\frac{1}{t}+\alpha,\ \ \alpha=1/k.$$ Tenga en cuenta que $t=f^{-1}(x)\in f^{-1}([0,T])=[t_0,T]$ donde $t_0=f^{-1}(0)\ge 0$ si $f$ alcanza el valor cero (si no, $t_0=0$ y el intervalo es semiabierto).

Multiplicando por $f(t)f'(t)$ y la integración de $t_0$ a $x$ obtenemos $$\int_{t_0}^xf'(t)f'(f(t))\ dt = \int_{t_0}^x(\alpha+1/t)f'(t)f(t)\ dt, $$ o $$ 2f\circ f(x)=(\alpha+1/x)f(x)^2 +\int_{t_0}^x\left[\frac{f(t)}{t}\right]^2\ dt.$$ Enchufar $x=T$ obtenemos en particular $$ T=\alpha T^2+\int_{t_0}^T\left[\frac{f(t)}{t}\right]^2\ dt.$$ Esto significa que la condición $\alpha T<1$ o $T/k<1$ para que exista una solución. Para $T=1, k=1/2$ la condición es no satisfecho, lo que me confunde ya que las respuestas numéricas anteriores parecen legítimas.

Como curiosidad, también se puede obtener la relación $$ \alpha T=\alpha f(x)+\int_{f(x)}^x\frac{f'(u)}{u}\ du, \ \ x\ge t_0.$$ De esto se desprende que si $t_0=0$ entonces la integral $$\int_0^T\frac{f'(u)}{u}\ du$$ debe divergir. Si $t_0>0$ , entonces es finito.