Primas que dividen un polinomio entero $x^8 + 8x^6y^2 -2x^4y^4 + 8x^2y^6 + y^8$ son congruentes con 1 mod $4$

Question

Tengo que demostrar que si $p\neq 2$ divide el polinomio entero $$x^8 + 8x^6y^2 -2x^4y^4 + 8x^2y^6 + y^8\in\mathbb{Z}[x,y],$$ $gcd(x,y)=1,$ entonces $p\equiv 1\pmod{4}.$ ¿Alguna idea?

Editar (la reacción de los OPs a la insinuación de que se trata de una suma de dos cuadrados):

Si $p|a^2+b^2=(a+bi)(a−bi)$ , entonces wlog $p|a+bi$ lo que significa que $a+bi≡0\pmod p$ Así que $i=\sqrt{−1}$ se define como un módulo $p$ . Esto significa que $-1$ es un residuo cuadrático mod $p$ Así que $p\equiv1 \mod p$ .

Answer 1

Una prueba puede basarse en lo siguiente

Es un hecho. Si una prima impar $p$ es un factor de la suma $x^2+y^2$ tal que $x$ y $y$ no son múltiplos de $p$ entonces $p\equiv1\pmod4$ .

Prueba. Sin pérdida de generalidad $p\nmid y$ . Por lo tanto, podemos dividir la congruencia $$ x^2\equiv -y^2\pmod p $$ por $y^2$ y concluir que existe un número entero $z\equiv xy^{-1}$ tal que $z^2\equiv-1\pmod p$ . Se sabe que esto sólo es posible cuando $p\equiv1\pmod4$ .

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El polinomio octogonal de la pregunta puede escribirse como una suma de dos cuadrados: $$ x^8 + 8x^6y^2 -2x^4y^4 + 8x^2y^6 + y^8=(x^2+y^2)^4+4x^2y^2(x^2-y^2)^2. $$ Si ninguno de los dos $a=(x^2+y^2)^2$ ni $b=2xy(x^2-y^2)$ es divisible por $p$ entonces el otro tampoco puede serlo. Por lo tanto, el hecho muerde, y nos permite concluir que $p\equiv1\pmod4$ .

Pero si $p\mid a$ entonces $p\mid x^2+y^2$ y podemos repetir el argumento. Obsérvese que la suposición $\gcd(x,y)=1$ descarta la posibilidad de que ambos $x$ y $y$ sería divisible por $p$ .