Interpretación geométrica de $\det(A^T) = \det(A)$

Question

<span class="math-container">$$\det(A^T) = \det(A)$$</span>

Usando la definición geométrica del determinante como el área atravesada por las columnas,¿podría alguien dar una interpretación geométrica de la propiedad?

Answer 1

Dado que $\text{sign}(\sigma^{-1})=\text{\sign}(\sigma)$ y $\phi:S_n\to Sn,\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ es una biyección, tenemos $\det(A)=\sum{\sigma\in Sn}\text{sign}(\sigma)\prod{i=1}^na{i\sigma(i)}=\sum{\sigma\in Sn}\text{sign}(\sigma^{-1})\prod{i=1}^na{\sigma^{-1}(i)i}=\sum{\sigma\in Sn}\text{sign}(\sigma)\prod{i=1}^na_{\sigma(i)i}=\det(A^t)$

Nota: No estoy usando la definición geométrica, pero solo pude publicar esto aquí ya que la pregunta sin el requisito geométrico se marcó incorrectamente como un duplicado de este problema.