Dejemos que $S_g$ denotan el grupo fundamental de un género $g$ superficie orientable cerrada. ¿Son todos los mapas $S_g \to S_h$ donde $g<h$ ¿es necesariamente trivial?
Respuesta
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No, ver mi comentario para una construcción no trivial. Pero en una dirección más positiva, todo mapa $S_g \to S_h$ , $g < h$ , factores (hasta la homotopía) a través de la $1$ -esqueleto de $S_h$ .
1) Considere la imagen de $\pi_1(S_g)$ en $\pi_1(S_h)$ . Este subgrupo corresponde al grupo fundamental de algún espacio de cobertura de $\pi_1(S_h)$ . Dado que los espacios de cobertura de grado finito de $S_h$ tienen mayor género que $S_h$ por lo que basta con ver que ningún cociente de $\pi_1(S_g)$ puede ser un grupo de superficie de género superior. Para ver esto, observe que $\pi_1(S_g)$ es $2g$ -y no pueden ser generados por menos elementos (mira la abelianización), y tomar cocientes sólo disminuye el número mínimo de generadores necesarios. Así, la imagen de $\pi_1(S_g)$ no puede tener índice finito en $\pi_1(S_h)$ . Así que el mapa $S_g \to S_h$ factores a través de algún espacio de cobertura no compacto $S$ de $S_h$ .
Elige la estructura celular de $S$ para que el mapa $S \to S_h$ es celular. Ahora (hecho no trivial): cualquier deformación de superficie no compacta se retrae a un subcomplejo unidimensional. Llamémosle $C \subset S$ . Así, el mapa $S_g \to S_h$ factores a través de $C$ y por tanto tiene imagen dentro del esqueleto 1 de $S_h$ , según se desee.
