Estoy haciendo algo con la curva dada paramétricamente por
$y = (-ar+b) r$ , $x = \sqrt{r^2-y^2}$
para $r\in \lbrack (b-1)/a,b/a\rbrack$ . Es lo suficientemente bonito (y de un grado lo suficientemente bajo) como para sospechar que ya se ha estudiado antes - y, en particular, que tiene un nombre. ¿Lo tiene?
Estoy asumiendo que $a$ es distinto de cero, en cuyo caso, esta curva de grado $4$ es una curva racional: Sólo hay que poner $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ , entonces se obtiene $\sin\theta = b-ar$ Así pues, el establecimiento de $$ \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\qquad{\text{and}}\qquad\qquad \sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} = b - a r, $$ ahora se puede resolver para r como una función de $t$ y de ahí obtener $x$ y $y$ como expresiones racionales en $t$ . El $t$ -que corresponde a su rango dado $r$ -El rango es $0\le t\le 1$ .
Resulta que se trata de una limaçon, ya que la ecuación $r = (b-\sin\theta)/a$ es la ecuación clásica de un limaçon en coordenadas polares.
Cuando $a=0$ La curva es una línea (segmento).
Ah, lo he pillado bien :-) La ecuación cartesiana dada en es.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on es el que obtuve por eliminación en el comentario anterior.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Eliminación de $r$ da la ecuación $-b^2 (x^2 + y^2) + (y + a (x^2 + y^2))^2=0$ .