Composición de la función escalonada con la lineal.

Question

Supongamos que $s$ es una función escalonada, y $f(x)=mx+k$ . Cómo demostrar que $s(f(x))$ ¿es también función de paso?

Editar:

Definición de función escalonada:

Función $s$ definido en $[a,b]$ se llamará función escalonada si existe una partición $P$ de $[a,b]$ , $P=\{a=x_0,...,x_n=b\}$ tal que $\displaystyle s_{|{\large{(x_{i-1},x_i)}}}=t_i$ para algunos $t_i\in \Bbb R$ .

Answer 1

Pistas: Las funciones de paso son combinaciones lineales finitas de $$s_a\colon x\mapsto\begin{cases}0 & x<a \\ 1 & x\geq a\end{cases}$$ $$\hat{s}_a\colon x\mapsto\begin{cases}0 & x\leq a \\ 1 & x> a\end{cases}$$ $$c\colon x\mapsto 1$$ Ahora lo único que tienes que demostrar es que $s_a\circ f$ , $\hat{s}_a\circ f$ y $c\circ f$ son funciones escalonadas. Para demostrar esto, se puede considerar $m<0$ , $m=0$ y $m>0$ por separado.

Exempli gratia: Deja que $m>0$ entonces $$s_a\circ f\colon x\mapsto s_a(mx+k) = \begin{cases}0 & mx+k<a \\ 1 & mx+k\geq a \end{cases} = \begin{cases}0 & mx<a-k \\ 1 & mx\geq a-k \end{cases}$$ Desde $m>0$ , $mx<y$ si y sólo si $x<\frac{y}{m}$ Por lo tanto $$s_a\circ f\colon x\mapsto \begin{cases}0 & x<\frac{a-k}{m} \\ 1 & x\geq \frac{a-k}{m} \end{cases} = s_{\frac{a-k}{m}}(x)$$ y concluimos $s_a\circ f = s_{\frac{a-k}{m}}$ .

Los demás casos son en su mayoría similares.