Cohomología de grupo de $\mathbf{R}^\ast$ actuando en $\mathbf{R}$

Question

Estoy interesado en calcular la primera cohomología de grupo $H^1(\mathbf{R}^\ast, \mathbf{R})$ , donde $\mathbf{R}^\ast$ está actuando en $\mathbf{R}$ por multiplicación (aquí $\mathbf{R}$ denota los números reales). Probablemente habría que tener en cuenta las co-cadenas continuas o algo así, pero ya me gustaría saber si es $0$ o no.

Por supuesto, esto es equivalente a encontrar un homomorfismo cruzado no trivial $\mathbf{R}^\ast \to \mathbf{R}$ y creo que $\log$ o $\exp$ puede ayudar aquí, pero estoy atascado.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No hay cohomología. No se necesita ninguna condición de continuidad.

La condición del cociclo es $$a \phi(b) + \phi(a) = \phi(ab)$$ Desde $\mathbb R^\times$ es conmutativo,

$$ a\phi(b) + \phi(a) = \phi(ab)=\phi(ba) = b\phi(a) + \phi(b)$$ así que $$ (a-1) \phi(b) = (b-1)\phi(a)$$ y por lo tanto $$ \frac{ \phi(b)}{b-1} =\frac{\phi(a)}{a-1}.$$

Así que los únicos cociclos son múltiplos escalares de $\phi(x)=x-1$ , es decir, la que escribió JLA. Estos múltiplos escalares son, en efecto, coordenadas, por lo que no hay cohomología.

Una prueba alternativa utiliza el hecho de que los cociclos clasifican extensiones de la representación trivial de $\mathbb R^\times$ por la representación estándar, y todas esas extensiones se dividen, como podemos ver al diagonalizar la acción de cualquier elemento no trivial de $\mathbb R^\times$ .

Answer 2

Hay teoremas de Van Est que pueden ayudar a calcular la cohomología de grupos, y en el grado uno es bastante sencillo. Uno de estos cohículos parece ser $f(x)=x-1\,,$ y creo que todos los demás son sólo múltiplos escalares de éste (me refiero a que mientras se trabaje con cadenas continuas) $^1$ .

Sin embargo, este cociclo parece ser trivial en cohomología, trivializado al aplicar la diferencial de grupo a la constante 1, pensada como una función cuyo dominio es sólo el elemento identidad. Por lo tanto, creo que con las co-cadenas continuas, la cohomología es cero.

$^1$ Para llegar a esto simplemente decidí trabajar con el componente de identidad de $\mathbb{R}^*\,,$ que es isomorfo a $\mathbb{R}\,.$ La ecuación del cociclo correspondiente es $e^af(b)+f(a)-f(a+b)=0\,,$ a partir de la cual se puede diferenciar con respecto a $b$ para deducir que $e^af'(b)-f'(a+b)=0\,,$ lo que no deja muchas opciones para $f'\,,$ y por supuesto $f$ sólo difiere de $f'$ por una constante. A continuación, comprobé, utilizando la condición del cociclo, que $f(-1)=-2\,,$ que obliga a $f(x)=c(x-1)$ para todos $x\in\mathbb{R}^*\,.$