Demostrar que no existen los números naturales $m$ y $n$ tal que $7m^2=n^2$

Question

Estoy atascado en mi prueba de este concepto y me vendría bien algo de ayuda para entender qué hacer a continuación.

Demostrar que no existen los números naturales $m$ y $n$ tal que $7m^2=n^2$

La prueba será por contradicción. Entonces, supongamos que existen números naturales tales que $7m^2=n^2$ es cierto.

Dejemos que $m=p_1^{r_1} p_2^{r_2 }…p_k^{r_k}$ y $n=p_1^{t_1} p_2^{t_2}…p_s^{t_s}$

Entonces $m^2=(p_1^{r_1} p_2^{r_2 }…p_k^{2r_k})^2=p_1^{2r_1} p_2^{2r_2 }…p_k^{2r_k}$ y $n^2=(p_1^{t_1} p_2^{t_2}…p_s^{t_s})^2=p_1^{2t_1} p_2^{2t_2}…p_s^{2t_s}$

Sustituya esto en $7m^2=n^2$ para obtener,

$7(p_1^{2r_1} p_2^{2r_2 }…p_k^{2r_k})=p_1^{2t_1} p_2^{2t_2}…p_s^{2t_s}$

La idea es que todos los valores de m y n elegidos para satisfacer $7m^2=n^2$ son números naturales, por lo que se pueden expresar como producto de primos.

Aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo demostrar la contradicción?

Gracias por la ayuda

Answer 1

Dejemos que $m=p_1^{r_1} p_2^{r_2 }…p_k^{r_k}$ y $n=p_1^{t_1} p_2^{t_2}…p_s^{t_s}$

Sus índices aquí son los mismos lo que implica que $n$ y $m$ tienen los mismos factores primos.

Es mejor escribir esto como $m=p_{a_1}^{r_1} p_{a_2}^{r_2 }…p_{a_k}^{r_k}$ y $n=p_{b_1}^{t_1} p_{b_2}^{t_2 }…p_{b_s}^{t_s}$ .

Sustituya esto en $7m^2=n^2$ para obtener, $7(p_1^{2r_1} p_2^{2r_2 }…p_k^{2r_k})=p_1^{2t_1} p_2^{2t_2}…p_s^{2t_s}$

Bien, eso significa que hay un $7$ en el LHS por lo que debe haber un $7$ en el RHS. Así que uno de los $p_{b_i}$ debe ser igual a $7$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $p_{b_1} = 7$ entonces tenemos

$7m^2 = 7p_{a_1}^{2r_1} p_{2a_2}^{2r_2 }…p_{a_k}^{2r_k}=n^2 = 7^{2t_1} p_{2b_2}^{2t_2 }…p_{b_s}^{2t_s}$

Ahora $2t_1 \ne 1$ y $2t_1 > 1$ para que $7$ en el LHS no puede ser el único $7$ en la factorización de $7m^2$ . Así que uno de los $p_{a_1}$ debe ser $7$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $p_{b_1} = 7$ . entonces tenemos

$7m^2 = 7\cdot 7^{2r_1} p_{2a_2}^{2r_2 }…p_{a_k}^{2r_k}=7^{2r_1 + 1} p_{2a_2}^{2r_2 }…p_{a_k}^{2r_k}=n^2 = 7^{2t_1} p_{2b_2}^{2t_2 }…p_{b_s}^{2t_s}$

Pero eso significa $2r_1 + 1 = 2t_1$ . Pero eso es imposible ya que $2r_1 + 1$ es impar y $2t_1$ está en paz.

Answer 2

El poder de $7$ en la descomposición de $7m^2$ en números primos es impar, mientras que la potencia de $7$ en la descomposición de $n^2$ en números primos es par.

Answer 3

Tenga en cuenta que si $(m,n)$ solución entonces $(\lambda n,\lambda m)$ también es solución, por lo que sin pérdida de generalidad podemos suponer $\gcd(n,m)=1$ .

Ahora bien, como $7\mid 7m^2\implies 7\mid n^2$ y como $7$ prime $\implies 7\mid n$

Entonces $n=7n'$ y $7m^2=(7n')^2\iff m^2=7n'^2$ .

Pero con un proceso similar entonces $7\mid m$ lo cual es una contradicción ya que $\gcd(m,n)=1$ .

Por lo tanto, no hay soluciones excepto la trivial $(0,0)$ existe.