La dimensión de un subespacio es menor que la del espacio completo.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $Y\subset X$ . El objetivo es demostrar que $\dim Y\leq \dim X$ .

Aquí utilizamos esta definición de dimensión.

Dejemos que $Y_0\subsetneq Y_1\subsetneq \cdots \subsetneq Y_{n}$ sea una cadena de subconjuntos irreducibles cerrados estrictamente crecientes de $X$ entonces $\dim X$ es el supremum de todas las cadenas de este tipo.

Esto es lo que tengo hasta ahora. Sólo estoy atascado en una última parte. Una pista estaría bien.

Dejemos que $Y_0\subsetneq Y_1\subsetneq \cdots \subsetneq Y_n$ sea una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de $Y$ . Dado que cada $Y_i$ es irreducible, sólo tenemos que cerrarlos en $X$ . Existe $F_i$ cerrado en $X$ tal que $Y_i=F_i\cap Y$ . Entonces, si cerramos cada conjunto en $X$ , $\overline{F_0\cap Y}\subset\overline{F_1\cap Y}\subset \cdots \subset \overline{F_n\cap Y}$ es una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de $X$ . Sólo necesito demostrar que son distintos. Realmente no sé cómo proceder. Se agradecería una pista. Gracias.

Answer 1

Intentaré usar todo lo que pueda de lo que has hecho.

Quieres saber que $\overline{Y_i} \subsetneq \overline{Y_{i+1}}$ . ¿Puedo encontrar puntos en la segunda pero no en la primera? Sí; afirmo que los puntos de $Y_{i+1} \setminus Y_i$ funcionará. Encuéntrame un conjunto cerrado en $X$ que contiene $Y_i$ pero se pierde todos los puntos de esta diferencia. Ya ha anotado uno.

Algo que se puede probar de la misma manera es que si $S$ es un subconjunto de $Y$ entonces $\operatorname{cl}_Y(S) = \operatorname{cl}_X(S) \cap Y$ . Eso es reconfortante.