Ecuación diofántica

Question

Resolver, en números enteros, la ecuación $$x^2 + xy + y^2 = \left({{x+y}\over3} + 1\right)^3.$ $

Answer 1

Establecimiento $x+y=3t$$xy=s$, obtenemos que $$9t^2-s = (t+1)^3 \implies s = -t^3+6t^2-3t-1$$ $x$ $y$ la satisfacción de las cuadrática $a^2 -3ta + s =0$. Esto significa $9t^2-4s = k^2$. La eliminación de $s$, obtenemos $$4t^3-15t^2+12t+4 = k^2 \implies 64t^3 - 240t^2 + 192t + 64 = (4k)^2$$ $$(4t-5)^3 - 108t + 189 = (8k)^2 \implies (4t-5)^3 - 27(4t-5) + 54 = (4k)^2$$ Por lo tanto, se reduce a resolver por entero puntos de la curva elíptica $$Y^2 = X^3 - 27X+54 = (X-3)^2(X+6)$$ Por lo tanto, tenemos $X+6=m^2$, es decir, $4t+1=m^2 \implies t = \dfrac{m^2-1}4$. Esto significa $m$ tiene que ser impar. La elección de $m=2p+1$, obtenemos $$t = \dfrac{4p^2+4p}4 = p^2 + p$$ Esto nos da que $$Y = m(m^2-9) = (2p+1)(4p^2+4p-8) \implies k=(2p+1)(p+2)(p-1)$$ Esto nos da $x,y = \dfrac{3t \pm k}2 = t + \dfrac{t \pm k}2$.

Por lo tanto, para resumir,

1. Elija cualquiera de los $p \in \mathbb{Z}$.
2. Set $t=p(p+1)$ $k = (2p+1)(p+2)(p-1)$
3. Esto nos da $\boxed{\color{blue}{x,y = t + \dfrac{t \pm k}2}}$

Si sólo queremos desordenada pares, es suficiente para variar el $p$$\mathbb{N}$. El primer par de valores mediante la variación de $p$ $0$ $5$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & x & y\\ \hline 0 & -1 & 1\\ 1 & 3 & 3\\ 2 & 19 & -1\\ 3 & 53 & -17\\ 4 & 111 & -51\\ 5 & 199 & -109\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \hline \end{array}

Answer 2

Sugerencia $1$ :

Deje $t=\frac{x+y}{3}\in \mathbb Z$ la ecuación se convierte en: $$y^2-3ty+(3t)^2-(t+1)^3=0 $$

una ecuación de segundo grado en $y$ que es soluble hasta la condición de $4t+1$ es un cuadrado.

Sugerencia $2$: $\Delta_y=(t-2)^2(4t+1)$

Soluciones de $(t,y)=(a^2+a,-a^3+3a+1),(a^2+a,a^3+3a^2-1)$ para cualquier parámetro de $a$

Y es tu turno de hacer algo de trabajo!

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Editar

Porque mi respuesta es votado y no veo las razones, voy a escribir una solución completa basada en mis pequeños consejos a continuación:

Reclamación Si $(x,y)$ se entero de soluciones de la ecuación : $$x^2 + xy + y^2 = \left({{x+y}\over3} + 1\right)^3\tag 1$$ $(x,y)\text{ or } (y,x) \in\left\{\left(-a^3+3a+1,a^3+3a^2-1\right)\big | a\in \Bbb Z \right\}$

Prueba

Deje $(x,y)$ ser una solución a la ecuación dada, y deje $t=\frac{x+y}{3}\in \Bbb Z$ por lo que: $$y^2-3ty+(3t)^2-(t+1)^3=0 \tag 2$$ y esta es una ecuación de segundo grado en $y$ así que vamos a calcular el discriminante: $$\Delta_y=(3t)^2-4\left((3t)^2-(t+1)^3\right)=4(t+1)^3-27t^2=(t-2)^2(4t+1)\tag 3$$ por lo que esta ecuación tiene un número entero de solución de $y$ si $\Delta_y$ es un cuadrado de un número entero, y esto es equivalente a $4t+1$ es un cuadrado de un entero que implica que $t=a^2+a$ para algunos entero $a$. y debido a que la ecuación de $(2)$ es cuadrática y sabemos el valor de su discriminante podemos encontrar las dos soluciones en $y$: $$\begin{align}y&=&\frac12\left(3t-(t-2)\sqrt{4t+1}\right)&=-a^3+3a+1\tag 4\\ y&=&\frac12\left(3t+(t-2)\sqrt{4t+1}\right)&=a^3+3a^2-1 \tag 5\end{align}$$ ahora que hemos encontrado el valor de $t$ $y$ podemos encontrar el valor de $x=3t-y$ que da: $$\left\{\begin{matrix} x=a^3+3a^2-1&\text{ and }& y=-a^3+3a+1 &\text{ or }\tag 6\\ x=-a^3+3a+1&\text{ and } & y=a^3+3a^2-1 \end{de la matriz}\right.$$

Finalmente: $$(x,y)\text{ or } (y,x) \in\left\{\left(-a^3+3a+1,a^3+3a^2-1\right)\big | a\in \Bbb Z \right\}\tag 7$$