si $x,y,z>0$ y $\color{red}{xyz\le 1}$, muestran que $$\color{blue}{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}+\dfrac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1} +\dfrac{z^2-z+1}{z^2+x^2+1}\ge 1}$$
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16
Multiplicar y dividir cada una de las expresiones numerador por $(1 + x)$, $(1 + y)$ y $(1 + z)$ respectivamente:
$$ \frac{z^3+1}{(z+1) \left(x^2+z^2+1\right)}+\frac{x^3+1}{(x+1) \left(x^2+y^2+1\right)}+\frac{y^3+1}{(y+1) \left(y^2+z^2+1\right)} $$
Simplificando aún más:
$$ 1+ \frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}-\frac{x^2+z}{x^2+z^2+1}+\frac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1} $$
Dar un trato similar al de segundo y cuarto términos:
$$ 1+\frac{x^3+1}{(x+1) \left(x^2+y^2+1\right)}+\frac{y^3+1}{(y+1) \left(y^2+z^2+1\right)}-\frac{x^2+z}{x^2+z^2+1} $$
Tenga en cuenta que el $1$ en la expresión anterior sugiere que esta expresión podría ser de $\geq1$ siempre y cuando la suma de segundo, tercer y cuarto término es de $\geq0$. Simplificando aún más:
$$ 1+\frac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1}-\frac{x^4+\left(y^2+z\right) x^2+x+y^2 z+z-1}{\left(x^2+y^2+1\right) \left(x^2+z^2+1\right)} $$ $$ \Rightarrow 1+\frac{y^3+1}{(y+1) \left(y^2+z^2+1\right)}+\frac{-x^4-x^2 y^2-x^2 z-x-y^2-z z+1}{\left(x^2+y^2+1\right) \left(x^2+z^2+1\right)} $$
Tenga en cuenta que desde el segundo término es siempre positivo, esto significa, en primer y segundo términos siempre será mayor que 1. Ahora vamos a concentrarnos en tercer término, a ver si es negativo y si es así, si es lo suficientemente grande como para hacer que el conjunto negativo del término.
Estamos dado que $xyz\le1$, vamos a considerar el límite superior de esta desigualdad y asumir $xyz=1$, esto implica, $z=\frac{1}{xz}$, que al sustituir en la expresión anterior, obtenemos:
$$ \frac{x^2+y^2+1+x y \left(-x^2+\left(2 x^3 y-x^2 y\right)+x^3+x y-y^2-1\right)}{\left(x^2+y^2+1\right) \left(x^2 \left(x^2+1\right) y^2+1\right)} $$
¿Cómo podemos averiguar si el término es positivo o no? Vamos a tratar de prueba por contradicción. El denominador es siempre positivo, así que vamos a concentrarnos en el numerador y asumir que el término es negativo.
El enfoque que tomó fue la de considerar sólo el autor de la propuesta y tratar de resolver las siguientes ecuaciones a la vez:
$$ 2 x^4 y^2-x^3 y^2-x^3 y+x^2 y^4+x^2 y^2+x^2-x^3-x y+y^2+1 < 0 $$ $$x\gt0$$ $$y\gt0$$
Y ya que no existe ninguna solución, lo que significa que el numerador no va a ser negativo. Por lo tanto podemos concluir que el plazo será de $\ge1$
Napthus
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50
Como lo que yo puedo decir, hay tres formas principales para ir a este problema. En primer lugar, podemos tratar de fuerza bruta por exanding a todos en una enorme fracción. El único problema es, usted puede terminar con algo como 81 términos en el numerador. He intentado esto y acabo de empantanado en el álgebra.
La segunda forma es considerar caso por caso; es decir, para cada x, y y z de considerar lo que sucede cuando están $<1$, $=1$, y $>1$. Desde $xyz\leq 1$, podemos eliminar un número de casos, ya que si $x,y,z>1$ entonces $xyz>1$. Del mismo modo, podemos excluir los casos en los que dos son mayores que uno y uno es igual a uno, y cuando uno es mayor que uno y dos es igual a uno. Sin embargo, esto todavía puede terminar con una gran cantidad de casos, y me quedé atrapado en el primero.
La solución final, que tengo más lejos, es considerar las derivadas parciales con respecto a $x$, $y$ y $z$ de toda la expresión. Ahora, como queremos demostrar que es siempre mayor o igual a 1, se debe tratar de encontrar un mínimo y demostrar que el valor es 1; es decir, tenemos que configurar cada una de las ecuaciones en derivadas parciales iguales a cero, resolver para encontrar un valor de $x$, $y$ y $z$ valor(s) (cada uno mayor que uno) y conectarlo de nuevo en la expresión original, para mostrar que es uno. Nota el uso de este método también tendría que demostrar que el $(x,y,z)$ de coordenadas que se encuentra es un mínimo para todos $(x,y,z)\geq 0$.
Edit: la razón por la que he publicado esto como una respuesta en lugar de un comentario es simplemente porque no tengo la suficiente reputación.
