Evaluación del rango de una matriz mediante determinantes

Question

Me han presentado un método para calcular el rango de y $m\times n$ matriz utilizando determinantes. El método dice que el rango de nuestra matriz es igual al orden de la mayor submatriz cuadrada que tiene determinante no nulo. Mi problema con el método es que una matriz tiene demasiadas submatrices, por ejemplo mi profesor me pidió que evaluara el rango de una $5\times 5$ (sé por la solución que el rango de la matriz específica es 3. Pero si resolviera el problema usando el método que me han presentado tendría que verificar que el determinante de cada una de las $4\times 4$ submatrices es cero. Pero hay 25 matrices de este tipo, por lo que el método me parece ineficiente. Así que me pregunto si hay algún truco para el método, es decir, si hay una manera de llegar a la conclusión sin tener que comprobar el determinante de cada $4\times 4$ ¿Matriz?

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Puede empezar por eliminar las filas (columnas) cero y cualquier fila (columna) que sea una combinación lineal de otras filas (columnas). Con suerte, esto recortará la matriz lo suficiente como para no tener que calcular determinantes de matrices grandes. Aquí es un ejemplo de uso de esta técnica.

Si esta técnica no se aplica a tu ejemplo, entonces puedes simplemente reducir la fila de la matriz y contar el número de pivotes, ya que es igual al rango.

Answer 2

Puedes utilizar el siguiente hecho. Supongamos que $M_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_p}$ es un menor no nulo de tamaño $p$ construida tomando los elementos de la matriz original de las filas $i_1,\ldots,i_p$ y columnas $j_1,\ldots,j_p$ . Si todos los menores de tamaño $p+1$ que inculcan las filas $i_1,\ldots,i_p$ y columnas $j_1,\ldots,j_p$ son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es $p$ .

Por ejemplo, supongamos que tenemos la matriz $$ A=\left(\begin{array}{lllll} 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 2& 0& 2\\ 1& 1& 1& 1& 2\\ \end{array}\right); $$ supongamos que sabemos que $$ M_{123,123}=\left|\begin{array}{lll} 1& 0& 1\\ 0& 1& 1 \\ 1& 0& 0 \\ \end{array}\right|=-1\ne 0. $$ En este caso, sólo debemos comprobar 4 (no 16) menores de tamaño 4: $M_{1234,1234}$ , $M_{1234,1235}$ , $M_{1235,1234}$ , $M_{1235,1235}$ . Estos 4 menores son iguales a cero, por lo tanto, ${\rm rank} A=3$ .