Esto pretende ser un contraejemplo a $A_4$ siendo simple, ya que $\{ (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ es normal.
Pero, ¿cómo se puede comprobar que es normal, hay una forma rápida o hay que calcular todo $A_4$ ?
Respuesta
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La forma más sencilla es recordar que si $\tau$ es cualquier permutación y $(a_1,\ldots,a_k)$ es un ciclo, entonces $$\tau\circ(a_1,\ldots,a_k)\circ \tau^{-1} = (\tau(a_1),\tau(a_2),\ldots,\tau(a_k));$$ en particular, la conjugación respeta la estructura del ciclo.
Como el subgrupo que tienes contiene todos los elementos que son el producto de dos transposiciones disjuntas más la identidad, y el conjugado del producto de dos transposiciones disjuntas es un producto de dos transposiciones disjuntas, se deduce que el subgrupo es efectivamente normal.
