Estoy tratando de encontrar las condiciones para que la función de valor real $f$ debe satisfacer para garantizar una desigualdad de la forma $$ \left| \mathcal{F} f (\lambda) \right| \leq |g(\lambda)|. $$ Aquí $\mathcal{F}f$ denota la transformada de Fourier de $f$ : $$ \mathcal{F}f(\lambda) = \int e^{- i \lambda x} f(x) dx. $$
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Eddie
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Mira el teorema de Paley-Wiener: $f$ es un (valor complejo) $L^2$ -función con $\mathtt{supp}f=\left[-A,A\right]$
si y sólo si para $\bar{f}\left(\xi\right)\;:=\;\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\cdot e^{ix \xi}\mathtt{d}x,\;\xi\in\mathbb{C}$ la siguiente espera:
i) $\left|\bar{f}\right|$ es una función completa.
ii) $\exists C\;\forall\xi\in\mathbb{C}\;:\;\left|\bar{f}\left(\xi\right)\right|\leq e^{A\cdot\left|\xi\right|}$ (" $\bar{f}$ es de tipo exponencial $A$ ").
iii) $\forall y\in\mathbb{R}\;:\;\intop_{-\infty}^{\infty}\left|\bar{f}\left(x+i\cdot y\right)\right|^{2}\mathtt{d}x<\infty$
Obsérvese que la constante de crecimiento $A$ da una estimación precisa del soporte y viceversa: entre las funciones $f$ con la propiedad de que la magnitud de la FT (inversa) $\bar{f}$ es una función de tipo exponencial $A$ siempre hay algunos con un soporte que abarca todo el intervalo $\mathtt{supp}f=\left[-A,A\right]$ y a la inversa, si $\mathtt{supp}f=\left[-A,A\right]$ la FT inversa será de tipo exponencial $A$ .
Hay una multitud de teoremas de Paley-Wiener, forman toda una clase de teoremas que relacionan el crecimiento de una función compleja con el soporte de su transformada de fourier. Google es tu amigo aquí, ¡buena suerte para encontrar uno que se ajuste a tus necesidades!
EDITAR:
De verdad $f$ también esta simple relación puede ayudar (probablemente ya la conozcas): $$\left|\hat{f}\left(\omega\right)\right|^{2}=\hat{f}\left(\omega\right)\cdot\overline{\hat{f}\left(\omega\right)}\underset{f\mathrm{\; real}}{=}\hat{f}\left(\omega\right)\cdot\hat{f}\left(-\omega\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\left(\cdot\right)*f\left(-\cdot\right)\right)\left(t\right)\right)=\mathcal{F}\left(\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)*f\left(\xi-t\right)\mathtt{d}\xi\right) $$ Asumiendo que la integral existe. -- Las palabras clave aquí son "autocorrelación" y "densidad espectral de energía".
También hay que tener en cuenta el teorema de Plancharel ( $f$ puede ser de nuevo de valor complejo): $$\intop_{-\infty}^{\infty}\left|\hat{f}\left(\omega\right)\right|^{2}\mathtt{d}\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|^{2}\mathtt{d}t $$
Suponiendo que las integrales existen.
Por último, he aquí una pregunta mía con respecto a Paley-Wiener. Esta pregunta (y mi propia respuesta) contienen algunas fórmulas adicionales, que usted puede mirar - tal vez es útil...: Diseño de un filtro FIR en el dominio de la frecuencia: Paley-Wiener "al revés".
