¿Hay una explicación geométrica para ¿por qué las direcciones principales de curvatura son ortogonales?

Question

Deje $f: \mathbb{R}^2 \supset M \rightarrow \mathbb{R}^3$ ser un suave inmersión y dejar que $N: M \rightarrow S^2 \subset \mathbb{R}^3$ ser el correspondiente mapa de Gauss. La curvatura normal a lo largo de una unidad de la dirección de la tangente $X \in TM$ puede ser expresado como

$$df(X) \cdot dN(X),$$

donde $\cdot$ es el habitual Euclidiano interior del producto en $\mathbb{R}^3$. El director de la curvatura de las direcciones $X_1, X_2 \in TM$ son la unidad de direcciones a lo largo de la cual curvatura normal es mínimo y máximo, respectivamente. Es un hecho bien establecido que (lejos de la central puntos) estas instrucciones son ortogonales en el sentido de que

$$df(X_1) \cdot df(X_2) = 0.$$

Pregunta 1 ¿hay alguna puramente geométrica intuición de por qué la directora de la curvatura de las direcciones ortogonales?

La pregunta 2 se Puede argumentar que la forma bilineal $df(X) \cdot dN(Y)$ es simétrica w.r.t. $X$ $Y$ sin recurrir al uso de coordenadas?

De hecho, yo me daría por satisfecho con una respuesta a la Pregunta 2 solo, ya que un auto-adjunto operador ortogonal de autovalores. Estoy realmente buscando la intuición aquí, no sólo una prueba formal -- si todo lo que veo es un montón de $E,F,G$ $e,f,g$ o (dios no lo quiera) $\Gamma_{ij}^k$ I sólo puede gritar! ;-)

Gracias!

Answer 1

Sólo sé que el operador $df(X) \cdot dN(Y)$ es simétrica porque las derivadas parciales de viaje. La prueba formal de que es sólo una línea en la W. P. A. Klingenberg "Un Curso de Geometría Diferencial", pág.38. Puede ser tratada como una intuición geométrica?

Informalmente, yo creo que de $df(X) \cdot dN(Y)$ como se define completamente sólo por $df$ (y el producto escalar en el espacio ambiente, que es $\mathbb{R}^3$ en la pregunta), por lo que los cambios en la dirección $X$ se reflejan automáticamente (a través de $N=\frac{df}{\left\Vert df\right\Vert }$) en la dirección $Y$. Tal vez, esta observación puede ser más rigurosos.

Edit. Acabo de notar un error en la anterior. En realidad, $N=\pm \frac{ds}{\left\Vert ds\right\Vert }$ para una definición de función $s$ de la hipersuperficie.

Answer 2

Mi respuesta es en realidad una explicación de Qiaochu del Yuan comentarios.

Primero vamos a echar un vistazo a cómo la curvatura se define en 1-dimensional de la curva: supongamos que $C$ es dos veces continuamente diferenciable inmerso plano de la curva representada por $\gamma (s)=(x(s),y(s))$, entonces la curvatura se define como $\kappa (s)= \|T'(s)\|=\|\gamma{''}(s)\|$ ($T(s)$ la unidad de vector tangente y $s$ la longitud de arco). Podemos ver $\kappa(s)$ sólo depende de hasta derivada segunda.

Tener esto en mente, estamos seguros, para reemplazar a cualquier superficie lisa con su aproximación cuadrática a nivel local para encontrar las correspondientes principal curvaturas/direcciones. Y se puede comprobar fácilmente por cualquier cuadrática de la superficie de las direcciones principales son ortogonales.

Answer 3

Las direcciones principales son ortogonales, ya que son los vectores propios de un operador de selfadjoint actuando sobre el plano tangente, es decir, el operador (operador de la forma) de Weingarten $W(v)$. Se define por diferenciar el vector normal en la dirección de $v$, obtención de $W(v)$.