Laplaciano definido como una integración sobre una bola 3D.

Question

En el libro "Teoría de la simetría unitaria" de Rumer y Fet (ver un trozo de texto al final de este post) hay una demostración que utiliza el siguiente resultado (a continuación traduciré lo más cerca posible del original, la enumeración de las ecuaciones está cambiada, algunas piezas irrelevantes para este post se saltan (sustituidas por elipsis):

... Para demostrar la primera de estas relaciones introduzcamos el siguiente operador $$\Delta_{\varepsilon}\psi = \frac{3}{4\pi\varepsilon^2}\iiint\limits_{K_{x,\varepsilon}}\psi\mathrm{d}v - \psi(x),\label{eq:1a}\tag{1a}$$ donde $K_{x, \varepsilon}$ - es una bola de radio $\varepsilon$ y centrado en el punto $x$ y $\mathrm{d}v$ - elemento de volumen.

...

El último paso es observar que $$ \Delta \psi(x) = \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{10}{\varepsilon^3} \Delta_{\varepsilon}\psi.\label{eq:2}\tag{2} $$

Luego hay una pista de cómo probar esto expandiendo $\psi$ en series de Taylor y luego integrar. Pero el problema es que no pude obtener el resultado. Además, creo que la fórmula es incorrecto porque la clase del primer término en \ref {eq:1a} es $O(\varepsilon)$ mientras que el segundo término está en $O(1)$ . ¿Estoy equivocado? Y cómo probar \ref {eq:2} si no.

Mi intento

Reescribiendo la ec. \ref {eq:1a} con una corrección:

$$\Delta_{\varepsilon}\psi = \frac{3}{4\pi\varepsilon^2}\iiint\limits_{K_{x, \varepsilon}}(\psi(x') - \psi(x))\mathrm{d}v',\label{eq:1b}\tag{1b} $$

He demostrado que la ec. \ref {eq:2} es válida para ella. Pero las ecs. \ref {eq:1a}- \ref {eq:1b} no son equivalentes.

Texto original

Answer 1

Tienes razón las ecuaciones deberían ser, donde he elegido que la bola esté centrada en el origen $$\Delta_\epsilon\psi=\frac{3}{4\pi \epsilon^3}\int \psi(x) \,dv-\psi(0),\quad \Delta\psi=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{10}{\epsilon^2}\Delta_\epsilon\psi$$

Para probarlo empezamos como tú, $$\Delta_\epsilon\psi=\frac{3}{4\pi \epsilon^3}\int \psi(x) -\psi(0)\,dv$$ Entonces, Taylor se expande alrededor de $0$ de 2º orden, lo que da términos proporcionales a $x$ , $xy$ y $x^2$ pero debido a la simetría el $x$ y $xy$ tipo de términos se integran a cero sobre la bola por lo que tenemos, $$\Delta_\epsilon\psi=\frac{3}{4\pi \epsilon^3}\left[\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\int x^2\,d v+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\int y^2\,d v+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\int z^2\,d v\right]+O(\epsilon^3)$$ donde todas las derivadas se evalúan en el origen.Las integrales dan todas el mismo valor $$\int x^2\,dv=\frac{1}{3}\int x^2+y^2+z^2\,dv=\frac{1}{3}4\pi\int_o^\epsilon r^4\,dr=\frac{4\pi\epsilon^5}{15}$$ Si insertamos este $$\Delta_\epsilon\psi=\frac{3}{4\pi \epsilon^3}\frac{1}{2}\frac{4\pi\epsilon^5}{15}\left[\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right]+O(\epsilon^3)=\frac{\epsilon^2}{10}\Delta\psi+O(\epsilon^3)$$ Finalmente tomamos el límite $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{10}{\epsilon^2}\Delta_\epsilon\psi=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\Delta\psi+O(\epsilon)\right]=\Delta\psi$$