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condición para que el operador simétrico positivo sea esencialmente autoadjunto

Supongamos que A es un operador simétrico densamente definido en el espacio de Hilbert que es positivo. (a) demuestre ||(A+I)\phi||^2\geq ||\phi||^2+||A\phi||^2 (b) Mostrar Ran(A+I) está cerrado si A es un operador cerrado (c)Demostrar que A es esencialmente autoadjunto si A^*\psi=-\psi no tiene solución distinta de cero.

Me he atascado en la parte (c). Sabemos que (A\pm iI) tiene imagen densa si A es esencialmente imagen. Además, estoy pensando en aplicar el resultado de la parte (b) a A^*+I . ¿Alguien podría darme una pista?

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Teorema: Dejemos que A : \mathcal{D}(A)\subseteq\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H} sea un operador lineal simétrico densamente definido en un espacio de Hilbert \mathcal{H} y supongamos que \langle Ax,x\rangle \ge 0 para todos x\in\mathcal{H} . Entonces A es esencialmente autoadjunto si el rango de A+I es denso en \mathcal{H} .

La gama de A+I no es denso si \langle (A+I)x,y\rangle=0 para algunos y\ne 0 lo que equivale a la existencia de y\in\mathcal{D}(A^*)\setminus\{0\} y (A^*+I)y=0 .

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