condición para que el operador simétrico positivo sea esencialmente autoadjunto

Question

Supongamos que $A$ es un operador simétrico densamente definido en el espacio de Hilbert que es positivo. (a) demuestre $||(A+I)\phi||^2\geq ||\phi||^2+||A\phi||^2$ (b) Mostrar $Ran(A+I)$ está cerrado si $A$ es un operador cerrado (c)Demostrar que A es esencialmente autoadjunto si $A^*\psi=-\psi$ no tiene solución distinta de cero.

Me he atascado en la parte (c). Sabemos que $(A\pm iI)$ tiene imagen densa si $A$ es esencialmente imagen. Además, estoy pensando en aplicar el resultado de la parte (b) a $A^*+I$ . ¿Alguien podría darme una pista?

Answer 1

Teorema: Dejemos que $A : \mathcal{D}(A)\subseteq\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ sea un operador lineal simétrico densamente definido en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y supongamos que $\langle Ax,x\rangle \ge 0$ para todos $x\in\mathcal{H}$ . Entonces $A$ es esencialmente autoadjunto si el rango de $A+I$ es denso en $\mathcal{H}$ .

La gama de $A+I$ no es denso si $\langle (A+I)x,y\rangle=0$ para algunos $y\ne 0$ lo que equivale a la existencia de $y\in\mathcal{D}(A^*)\setminus\{0\}$ y $(A^*+I)y=0$ .