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condición para que el operador simétrico positivo sea esencialmente autoadjunto

Supongamos que AA es un operador simétrico densamente definido en el espacio de Hilbert que es positivo. (a) demuestre ||(A+I)ϕ||2||ϕ||2+||Aϕ||2||(A+I)ϕ||2||ϕ||2+||Aϕ||2 (b) Mostrar Ran(A+I)Ran(A+I) está cerrado si AA es un operador cerrado (c)Demostrar que A es esencialmente autoadjunto si Aψ=ψAψ=ψ no tiene solución distinta de cero.

Me he atascado en la parte (c). Sabemos que (A±iI)(A±iI) tiene imagen densa si AA es esencialmente imagen. Además, estoy pensando en aplicar el resultado de la parte (b) a A+IA+I . ¿Alguien podría darme una pista?

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Teorema: Dejemos que A:D(A)HHA:D(A)HH sea un operador lineal simétrico densamente definido en un espacio de Hilbert HH y supongamos que Ax,x0Ax,x0 para todos xHxH . Entonces AA es esencialmente autoadjunto si el rango de A+IA+I es denso en HH .

La gama de A+IA+I no es denso si (A+I)x,y=0(A+I)x,y=0 para algunos y0y0 lo que equivale a la existencia de yD(A){0}yD(A){0} y (A+I)y=0(A+I)y=0 .

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