Soy un estudiante que acaba de terminar su secuencia de cálculo y tomará ecuaciones diferenciales el próximo semestre. Ya conozco bastantes métodos para resolverlas, incluyendo el uso de la transformada de Laplace. Mi problema es que prefiero ser capaz de derivar un resultado en lugar de ir por una tabla de transformadas de Laplace. Terminé leyendo un poco sobre la fórmula de inversión de Laplace, pero no pude encontrar una derivación, y la fórmula en sí parece que requerirá un cierto nivel de comprensión del análisis complejo, una clase que todavía no he tomado. Me preguntaba si alguien podría proporcionar una derivación y tal vez una explicación de las partes que pueden estar un poco más allá del alcance de la secuencia típica de cálculo.
Respuesta
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La transformada inversa de Laplace tiene otro nombre: la transformada inversa de Fourier. $$F(s)= \int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx$$ Supongamos que $f$ es acotado y continuamente diferenciable con $f'$ limitado. Para $\sigma> 0$
$$\int_{-A}^A F(\sigma+it) e^{i t x}dt = \int_0^\infty f(y)e^{-\sigma y} \int_{-A}^A e^{it(x-y)}dt dy = \int_0^\infty f(y)e^{-\sigma y} 2A\frac{\sin( A (y-x))}{ A(y-x)}dy$$
$$ = f(0) g(-Ax) - \int_0^\infty (f(y)e^{-\sigma y})' g(A(y-x))dy$$ donde $g(x) = \int_{-\infty}^x 2\frac{\sin(y)}{y}dy$ y el último paso fue una integración por partes.
Desde $g$ está acotado, es continuo y $g(\infty)$ existe y $g(-\infty)=0$ obtenemos que para $x > 0$ $$\lim_{A\to \infty} \int_{-A}^A F(\sigma+it) e^{i t x}dt =\lim_{A\to \infty} f(0) g(-Ax) - \int_0^\infty (f(y)e^{-\sigma y})' g(A(y-x))dy$$ $$= f(0)g(-\infty) - \int_x^\infty (f(y)e^{-\sigma y})' g(\infty)dy=f(x)e^{-\sigma x}g(\infty)$$ Y el teorema de inversión de Fourier/Laplace se deduce de $g(\infty)=2\pi$ .
