Existencia de la progresión cuasi-aritmética en un conjunto con medida positiva

Question

Dejemos que $S\subseteq [0,N]$ para algunos $N\geq 1$ sea un conjunto medible con medida positiva.

La primera cuestión es demostrar que hay $x\in S$ y $t>0$ para que $x+t\in S$ y $x+2t\in S$ . Para ello, mi idea es reformular el problema: $$ I:=\int_0^N \int_0^{N} 1_{S}(x)1_{S}(x+t)1_S(x+2t)dt\,dx $$ Entonces, si $I>0$ podríamos concluir nuestra afirmación. Pretendo utilizar el teorema de diferenciación de Lebesgue o las propiedades de las circunvoluciones. ¿Cómo podría proceder?

De manera más general, quiero considerar $P(t)$ para reemplazar el " $2t$ ", donde $P(0)=0$ y $P$ es continua en $0$ (Si es necesario, puede asumir que $P$ es analítica real cerca de $0$ ), por lo que el problema se convierte en mostrar $$ \int_0^N \int_0^{N} 1_{S}(x)1_{S}(x+t)1_S(x+P(t))dt\,dx>0. $$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esta respuesta se inspira en este .

Lema 1 : Dejemos que $T \subset [-1,1]$ un conjunto medible con medida $\lambda(T)>1$ . Entonces $T \cap (-T)$ no está vacío.

En efecto, denotamos por $T^\complement$ el conjunto $[-1,1] \setminus T$ . Entonces $$ \begin{align} \lambda(T\cap(-T))&=2-\lambda(T^\complement \cup(-T)^\complement) \\ &\geq2-\lambda(T^\complement)-\lambda((-T)^\complement) \\ &=2-(2-\lambda(T))-(2-\lambda(T)) \\ &=2(\lambda(T)-1) \\ &>0. \end{align} $$

Prueba de su primera reclamación : Ahora volvamos a nuestro set $S \subset \mathbb{R}$ de medida positiva. Por el teorema de la densidad de Lebesgue, para casi todo $x \in S$ tenemos $$\lim_{r\to 0} \frac{\lambda([x-r,x+r]\cap S)}{2r} =1. $$

Desde $S$ tiene medida positiva, podemos tomar $x_0 \in S$ que satisface la condición anterior, y $r>0$ tal que $$\lambda([x_0-r,x_0+r]\cap S)>r. $$

Utilizando el lema, se puede ver que $([x_0-r,x_0+r]\cap S)\cap([x_0-r,x_0+r]\cap (2x_0-S))$ no está vacío, y a fortiori $S \cap (2x_0-S)$ es, lo que significa que existe $t\in S \cap (2x_0-S)$ y luego $(t,x_0,2x_0-t)$ es una progresión aritmética contenida en $S$ .

Disclaimer : No estoy muy seguro de la siguiente parte, algún consejo exterior es bienvenido.

Lema 2 : Dejemos que $P \colon [-1,1]\to [-1,1]$ ser medible con $P(0)=0$ y $P$ continua en $0$ . También voy a suponer que no hay ningún barrio de $0$ tal que $P$ es constante en casi todas partes. Existe $\varepsilon>0$ tal que, si $T \subset [-1,1]$ es un conjunto medible con medida $\lambda(T)>2-\varepsilon$ entonces $P^{-1}(T)\cap(-T)$ no está vacío.

Calculamos una vez más : $$ \begin{align} \lambda(P^{-1}(T)\cap(-T))&=2-\lambda(P^{-1}(T)^\complement \cup (-T)^\complement) \\ &\geq 2-(2-\lambda(P^{-1}(T)))-(2-\lambda(T)) \\ &=\lambda(P^{-1}(T))-(2-\lambda(T)). \end{align} $$

Gracias a las hipótesis sobre $P$ existe $\varepsilon>0$ tal que $\lambda(P^{-1}(T))>0$ tan pronto como $\lambda(T)>2-\varepsilon$ . Si es necesario, tome un valor más bajo $\varepsilon'<\varepsilon$ por lo que el término $2-\lambda(T)$ puede ser tan bajo como queramos, y obtenemos el lema.

Prueba de la segunda afirmación : Dejemos que $S\subset \mathbb{R}$ ser de medida positiva. Sea $P$ que satisface las condiciones anteriores. Como antes, podemos encontrar $x_0$ y $r$ tal que $$\lambda([x_0-r,x_0+r]\cap S)>r(2-\varepsilon). $$ Por el lema tenemos un punto $t_0\in P^{-1}(-x_0+S)\cap(x_0-S)$ y dejar que $t=x_0-t_0$ tenemos una progresión $(t,x_0,P(x_0-t)-x_0)$ con los tres términos pertenecientes a $S$ .

Editar : Replantear la última parte para que coincida con la pregunta. Sea $P,Q$ sean dos funciones que cumplan las condiciones adecuadas. Entonces tenemos una progresión $$(u,x_0,Q(x_0-u)-x_0) $$ donde los términos pertenecen a $S$ . Ahora dejemos que $x=u$ , $t=x_0-u$ y $P(X)=Q(X)-X$ . La progresión se reescribe como $$(x,x+t,x+P(t)). $$