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Demostrar que $\ker \hat{T} = \text{ann}(\text{range } T)$

Se trata de un viejo problema de examen: Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo $F$ y que $T: V \to W$ sea una transformación lineal. Definir $\hat{T}: W^* \to V^*$ por $(\hat{T}(f))(v)=f(T(v))$ . Aquí, $U^*$ denota el espacio vectorial dual $U$ . Desde $\hat{T}$ es una transformación lineal que demuestra $\ker \hat{T} = \text{ann}(\text{range } T)$ donde $\text{ann}(Y) = \{g \in U^* : g(y)=0 \text{ for all } y \in Y \}$ para un subespacio $Y$ del espacio vectorial $U$ .

No estoy seguro de cómo empezar este problema. ¡Cualquier consejo sería genial!

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Jukka Dahlbom Puntos 1219

Dejemos que $A = \ker \hat T$ y $B = ann(range(T))$ . Queremos demostrar que $A \subset B$ y $B \subset A$ .

Consideremos un $f \in A$ . Por definición, $f \circ T = 0$ . Esto significa que para cualquier $x \in V$ , $f(T(x)) = 0$ . Tenga en cuenta que para cualquier $y \in range(T)$ Hay un $x$ tal que $y = T(x)$ . Por lo tanto, dada tal $y$ y un $x$ con $y = T(x)$ tenemos $$ f(y) = f(T(x)) = 0 $$ para que $f \in B$ .

A la inversa, consideremos un $f \in B$ . Para cualquier $x$ observamos que $T(x)$ está en el rango de $T$ de lo que se deduce que $f (T(x)) = 0$ . Sin embargo, como $f(T(x)) = 0$ por cada $x$ podemos concluir que $f \circ T = 0$ para que $f \in A$ .

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Jeff Puntos 4795

Sugerencia: Si escribe $T$ y $\hat{T}$ como matrices, entonces $T$ y $\hat{T}$ son transposiciones. Ahora, un elemento del núcleo de $\hat{T}$ es lo mismo que algo que aniquila las columnas de $T$ (sólo hay que tomar la transposición de la multiplicación de la matriz que es igual al vector cero), pero las columnas de $T$ abarcan la imagen de $T$ .

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Bernard Puntos 34415

$\widehat{T\mkern-0.5mu}\mkern0.5mu\colon W^*\rightarrow V^*\,$ es el transponer del mapa lineal $T$ definido por $f\mapsto f\circ T$ .

Ahora $\,f\in\ker\widehat{T\mkern-0.5mu}\mkern0.5mu\iff f\circ T=0$ . Obsérvese que esto significa simplemente el restricción de $f$ a $\operatorname{Im}T$ es $0$ En otras palabras $f\in\operatorname{Ann}_{W^*}(\operatorname{Im}T)$ .

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