Estoy muy desconcertado por esto:
$$a^{b^c} = a^{(b^c)} \neq (a^b)^c = a^{(bc)}.$$
¿Por qué no es $a^{b^c}$ igual a $a^{(bc)}$ ? ¿Por qué es $a^{b^c}$ en lugar de eso es igual a $a^{(b^c)}$ ? ¿Y cómo es posible que $(a^b)^c = a^{(bc)}$ ?
Mi mente está casi explotando por tratar de entender esto.
Que $a^{b^c}$ significa $a^{(b^c)}$ en lugar de para $(a^b)^c$ es simplemente una convención notacional; decimos que la notación de exponenciación se asocia a la derecha (mientras que las operaciones aritméticas se asocian a la izquierda, por lo que $a-b-c$ significa $(a-b)-c$ en lugar de $a-(b-c)$ ).
El hecho de que $(a^b)^c=a^{b\times c}$ es fácil de entender: $a^b$ se obtiene multiplicando una secuencia de $b$ copias de $a$ y $(a^b)^c$ se obtiene multiplicando $c$ de estos productos; escribiendo todo esto en términos de copias de $a$ significa que $b\times c$ tales copias se han multiplicado juntas. Ahora puedes ver también por qué esto no es igual a $a^{(b^c)}$ que se obtiene multiplicando $b^c$ copias de $a$ .
Por último, el hecho de que $(a^b)^c=a^{b\times c}$ explica por qué la convención es que la notación de exponenciación se asocie a la derecha: ambos $a^{(b^c)}$ y $(a^b)^c$ son expresiones útiles, pero como esta última puede escribirse más fácilmente como $a^{bc}$ , uno podría también reservar $a^{b^c}$ para defender la primera, que no tiene una alternativa tan fácil. Podría parecer que $a^{b^c}$ es un producto tan enorme que es poco probable que sea útil; sin embargo, se encuentra con sorprendente frecuencia en algunos contextos.
Primera pregunta,
¿Por qué no es $a^{b^c}$ igual a $a^{bc}$
asumiendo el resto de las preguntas ya contestadas. Es una cuestión de convención. Dado que $a^{(b^c)} \ne (a^b)^c$ en general, cuando escribimos $a^{b^c}$ necesitamos una convención para decir a cuál de los dos nos referimos. Dado que $(a^b)^c = a^{bc}$ ya hay una forma corta de escribirlo, así que usamos $a^{b^c}$ para el otro.
Primer concepto: La multiplicación NO es lo mismo que la exponenciación.
La pregunta que se hace es, básicamente, por qué es $3^2 $ no es lo mismo que $3 (2)$ o $3 \times 2$ ?
Ahora, si echamos un vistazo a un problema de ejemplo relacionado con tu pregunta: $$3^{2^{3}} = 3^{8} \ne {\left(3^{2}\right)^3}\ne 3^{2\times 3}\ne3^6$$ Observe que $3^{2^3}=3^8$ desde $2^3 = 8$ .
Estás preguntando por qué la multiplicación no es lo mismo que la exponenciación, esencialmente. Mi respuesta es que la multiplicación pertenece a la adición repetida mientras que la exponenciación pertenece a la multiplicación repetida.
Si nos fijamos en los fundamentos, $(a^b)^c$ está multiplicando $a^b$ a sí mismo $c$ veces. Ahora bien, si multiplicamos $a^b$ a sí mismo un número arbitrario de veces, entonces estamos sumando la potencia (aquí, $b$ ) a sí mismo el mismo número de veces. Si añades algo a sí mismo un número de veces, entonces simplemente lo multiplicas por el número de veces que estás añadiendo algo a sí mismo. Ejemplo: $$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6 = 2^{3 \cdot 2}$$
Y... $a^{b^c}$ significa que está multiplicando $b$ a sí mismo $c$ número de veces.
Para los lectores ocasionales: salten a esta parte. En $(a^b)^c$ multiplicamos $b$ a $c$ ... y en $a^{b^c}$ , planteamos $b$ al poder $c$ . Como he repetido claramente, la exponenciación no es lo mismo que la suma no es lo mismo que la exponenciación. En otras palabras, $bc \ne b^c \ne b + c$ siempre.
Sin paréntesis: la suma, la resta, la multiplicación y la división deben evaluarse de izquierda a derecha . Como: $1 + 3 + 5 = 4 + 5 = 9$ .
Esta norma NO aplicar para la exponenciación, sin paréntesis, para la exponenciación, pasaremos de DERECHA a IZQUIERDA .
Por ejemplo, para evaluar: $2^{2^3}$ debemos evaluar $2^3 = 8$ primero, así que: $2^{2^3} = 2^8 = 256$ .
Así que, sin paréntesis, $a^{b^c}$ es lo mismo que $a^{\left(b^c\right)}$ ya que debemos pasar de DERECHA a IZQUIERDA .
Para su segundo problema, ¿por qué ${(a^b)}^c = a^{b.c}$ .
Si tomamos la suma de algún número $a$ para $n$ veces, tendremos multiplicación es decir $a \times n = \underbrace{a + a + a + ... + a}_{n \mbox { times}}$ .
Si multiplicamos algún número $a$ para $n$ veces, tendremos exponenciación es decir $a ^ n = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{n \mbox { times}}$ .
$a ^ m \times a ^ n = a^{m+n}$
$a ^ m \times a ^ n = \underbrace{\underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{m \mbox { times}} \times \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{n \mbox { times}}}_{m + n \mbox { times}} = a^{m+n}$ .
Es como si 2 manzanas junto con 3 manzanas se convirtieran en 2 + 3 = 5 manzanas. Tienes $n$ copias de $a$ junto con otro $m$ copias de $a$ , obtendrá $m + n$ copias de $a$ .
$(a ^ m)^n = a^{m.n}$
$(a^m)^n$ significa básicamente que se toma el resultado de $a^m$ y luego elevar todo el material a la potencia de $n$ o, en otras palabras, multiplicar $n$ copias juntas.
$(a^m)^n = \underbrace{a^m \times a^m \times ... \times a^m}_{n \mbox{ times}}$
Ahora, piensa en 5 grupos de manzanas, de manera que cada grupo tenga exactamente 2 manzanas. Así que habrá un total de 2 x 5 = 10 manzanas. Cada $a^m$ tiene $m$ copias de $a$ y hay $n$ copias de $a^m$ o, en otras palabras, hay $n$ grupos, en los que cada grupo tiene $m$ copias de $a$ . Así que habrá un total de $m \times n$ copias de $a$ . Así que:
$(a^m)^n = \underbrace{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m \mbox{ times}} \times \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m \mbox{ times}} \times ... \times \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m \mbox{ times}}}_{n \mbox { times}} = a^{m.n}$ .
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