Acerca de $f(x,y)=\frac{1}{1+|x|+|y|}$ integrabilidad

Question

¿Para qué valores de $1\le p \le \infty$ hace $f(x,y)=\frac{1}{1+|x|+|y|}$ con $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ pertenecen a $L^p(\mathbb{R}^2)$ ?

Usando Wolfram Alpha he encontrado que la respuesta debería ser $p > 2$ pero no sé cómo empezar a demostrarlo. He pensado en hacer un cambio de variable, después de considerar que $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{1+|x|+|y|} \right) ^pdxdy=4\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\left( \frac{1}{1+x+y} \right) ^pdxdy$

Answer 1

Debido a la $1$ en el denominador sólo tenemos que preocuparnos por el complemento del disco unitario. Como $r:=\sqrt{x^2+y^2}\leq|x|+|y|\leq 2r$ tenemos $$r\leq 1+|x|+|y|\leq 3r\qquad(r\geq 1)\ .$$ De ello se deduce que la integral $$\int_{{\mathbb R}^2}{1\over (1+|x|+|y|)^p}\ {\rm d}(x,y)$$ es finita si la integral $$2\pi \int_1^\infty {r\over r\mathstrut^p}\ dr$$ es finito, y este es el caso cuando $p>2$ .

Answer 2

Para una demostración conceptual, (1.) no te centres en los valores exactos de las integrales implicadas y (2.) recurre a las coordenadas polares.

Todas las normas sobre $\mathbb R^2$ son equivalentes y, si $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ entonces $r$ es el $\ell^2$ norma de $(x,y)$ mientras que $|x|+|y|$ es su $\ell^1$ Por lo tanto, la norma $ar\leqslant|x|+|y|\leqslant br$ para algunas constantes absolutas $a$ y $b$ (y sucede que $a=1$ y $b=\sqrt2$ pero estos valores son anecdóticos en este caso). Por cada resultado positivo $c$ El $L^p(\mathbb R^2)$ norma de $(x,y)\mapsto1/(1+cr)$ es $$ \iint\frac{r\mathrm dr\mathrm d\theta}{(1+cr)^p}=2\pi\int_0^{+\infty}\frac{r\mathrm dr}{(1+cr)^p}. $$ La función en la última integral es localmente integrable y equivalente a un múltiplo de $r^{1-p}$ en el infinito, por lo que es integrable si y sólo si $1-p\lt-1$ Es decir, $p\gt2$ . Como esto no depende de $c$ lo mismo ocurre con la función original de $(x,y)$ .

Asimismo, en $\mathbb R^d$ la función $(x_1,\ldots,x_d)\mapsto1/(1+|x_1|+\cdots+|x_d|)$ está en $L^p(\mathbb R^d)$ si y sólo si $p\gt d$ .

Answer 3

Empezaste prometiendo, sólo tienes que integrarte. Para empezar, para $y>0$ y $p>1$ , $$ \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x+y)^p} = -\frac{1}{p-1} \left[\frac{1}{(1+x+y)^{p-1}}\right]_{x=0}^\infty = \frac{1}{(p-1)(1+y)^{p-1}}. $$ Entonces $$ \int_0^\infty \frac{dy}{(p-1)(1+y)^{p-1}} $$ converge si $p>2$ . (E incluso puedes obtener el valor exacto de la integral).