Dejemos que $C \subset \mathbb R^n$ un conjunto conectado. Demuestre que si $x$ es un punto límite de $C$ entonces $C \cup {x}$ está conectado.
Primero asumí que $S = C \cup {x}$ está desconectado, entonces, por definición, existen dos subconjuntos $U,V \subset \mathbb R^n$ tal que i) $$S \subset U \cup V$$ ii) $$S \cap U \neq \emptyset$$ y $$S \cap V \neq \emptyset$$ iii) $$S \cap U \cap V = \emptyset$$
Si $C \subset U$ entonces $x \in V$ dado que $S \cap V \neq \emptyset$ y $ V \cap C = V \cap (C \cap U) \subset S \cap U \cap V = \emptyset$ pero luego $V$ sería un barrio de $x$ entonces $V \cap C \neq \emptyset$ dado que $x$ es un punto límite de C, esto significa que $\exists y \in V \cap C = V \cap U \cap C = \emptyset$ que es una contradicción.
Finalmente, S está conectado
Por lo tanto, ineed una revisión de esta prueba si hay algo worng con él, si alguien tiene alguna sugerencia o comentario que sería muy agradable.
