Encontrar una transformación lineal desconocida dado que T(1,1)=(1,0,2) y T(2,3) = (1,-1,4)

Question

Dejemos que $T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ sea la transformación lineal tal que $T(1,1)=(1,0,2)$ y $T(2,3) = (1,-1,4)$ .

¿Existe esa transformación lineal?

Hasta el momento he comprobado que no puede existir, ya que la primera entrada de $T(1,1)$ es 1,
mientras que la primera entrada de $T(2,3)$ es 1, que sólo se puede obtener a través de 3-2, o la mitad de 2.

¿Hay alguna manera de presentar esto formalmente?

Answer 1

Una pista: $\{(1,1),(2,3)\}$ es una base de $\mathbb R^2$ .

Answer 2

No creo que tu razón funcione. Si existe una transformación lineal, debería ser una matriz de 2 por 3. Que esta matriz tenga las entradas $a$ y $b$ en la primera fila, $c$ y $d$ en el segundo y $e$ y $f$ en la tercera. Realizando la multiplicación matricial en <1,1> y <2,3> para obtener <1,0,2> y <1,-1,4> se obtienen los siguientes sistemas de ecuaciones a resolver: $a+b=1$ con $2a+3b=1$ y $c+d=0$ con $2c+3d=-1$ por último $e+f=2$ con $2e+3f=4$ Estos sistemas producen valores únicos para las entradas de la matriz. Perdón por mi mal formato

Answer 3

Advertencia de Spoiler: Solución completa

Podemos escribirlo como una ecuación vectorial matricial $${\bf T}\left[\begin{array}{rr}1&2\\1&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1&1\\ 0&-1\\ 2&4 \end{array}\right]$$

Desde que Arpit mencionó en la pista, $\{(1,1),(2,3)\}$ abarca una base para $\mathbb{R}^2$ por lo que la matriz debe ser invertible. Ahora si multiplicamos cada lado a la derecha con $\left[\begin{array}{rr}1&2\\1&3\end{array}\right]^{-1}$ :

$${\bf T} = \left[\begin{array}{rrr} 1&1\\ 0&-1\\ 2&4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1&2\\1&3\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{rr} 2&-1\\ 1&-1\\ 2&0 \end{array}\right]$$ Ahora lo que queda es confirmar que la primera ecuación se satisface.

Answer 4

Pista: Una transformación lineal $T: V \to W$ está determinada de forma única por cómo actúa sobre los elementos de una base para $V$ .