Criterio de constancia de una función entera.

Question

En el libro de texto de Análisis Complejo de Conway escribe que

si $f$ está completo y $|f|\leq 1+|z|^{1/2}$ entonces f es constante.

Obviamente, a partir del teorema de Liouville sólo tengo que demostrar que $f$ siempre está acotado.

Para $|z|\leq 1$ es obvio que $|f|\leq 2$ pero, ¿qué tal si $|z|>1$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos $\left|\frac{f(z)-f(0)}z\right|\leq\frac{2+\sqrt{z}}{|z|}$ para $|z|\geq 1$ Así que $\sup_{|z|\geq 1}\left|\frac{f(z)-f(0)}z\right|=:C<\infty$ . Como $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}z=f'(0)$ , $g(z):=\frac{f(z)-f(0)}z$ es entera y acotada, por tanto, constante: $f(z)=Cz+f(0)$ . Obtenemos $|C|\cdot |z|\leq |f(z)|+|f(0)|\leq 2+\sqrt{|z|}$ , por lo que necesariamente $C=0$ .