Convergencia puntual de $f_n(x) = \sum_{i=1}^n \left( 1_{ [ \frac{2i-2}{2n},\frac{2i-1}{2n})}(x)-1_{ [ \frac{2i-1}{2n},\frac{2i}{2n}]}(x) \right)$

Question

Considere la siguiente secuencia de funciones: \begin {align} f_n(x) = \sum_ {i=1}^n \left ( 1_{ [ \frac {2i-2}{2n}, \frac {2i-1}{2n})}(x)-1_{ [ \frac {2i-1}{2n}, \frac {2i}{2n}]}(x) \right ). \end {align}

Nos interesa entender cómo converge esta función puntualmente como $n \to \infty$ para todos $x\in [0,1]$ . Es decir, lo que es \begin {align} f(x)= \lim_ {n \to \infty } f_n(x) \end {align}

Algunas reflexiones: Se trata de una función periódica que oscila entre $1$ y $-1$ . Como $n$ aumenta el periodo se reduce. Tengo la sensación de que el límite podría no existir aquí para todos $x$ .

Answer 1

Esto en respuesta a un comentario del OP.

Considere $$f_{2^{m-1}}=\sum^{2^{m-1}}_{j=1}\Big(\mathbb{1}_{\big(\tfrac{2j-2}{2^m},\tfrac{2j-1}{2^m}\big]}-\mathbb{1}_{\big(\tfrac{2j-1}{2^m},\tfrac{2j}{2^m}\big]}\Big)$$ Observe que $$\begin{align} \big(\frac{2j-2}{2^m},\frac{2j-1}{2^m}\big]&=\big(\frac{2j-2}{2^m},\frac{4j-3}{2^{m+1}}\big]\cup\big(\frac{4j-3}{2^{m+1}},\frac{2j-1}{2^m}\big]\\ &=\big(\frac{4j-4}{2^{m+1}},\frac{4j-3}{2^{m+1}}\big]\cup\big(\frac{4j-3}{2^{m+1}},\frac{4j-4}{2^{m+1}}\big] \end{align}$$ Asimismo, $$\begin{align} \big(\frac{2j-1}{2^m},\frac{2j}{2^m}\big]&=\big(\frac{2j-1}{2^m},\frac{4j-1}{2^{m+1}}\big]\cup\big(\frac{4j-1}{2^{m+1}},\frac{2j}{2^m}\big]\\ &=\big(\frac{4j-2}{2^{m+1}},\frac{4j-1}{2^{m+1}}\big]\cup\big(\frac{4j-1}{2^{m+1}},\frac{4j}{2^{m+1}}\big] \end{align}$$ De este $$ |f_{2^m}-f_{2^{m-1}}|=2\sum^{2^{m-1}}_{j=1}\mathbb{1}_{\big(\tfrac{4j-3}{2^{m+1}},\tfrac{4j-2}{2^{m+1}}\big]}+\mathbb{1}_{\big(\tfrac{4j-j}{2^{m+1}},\tfrac{4j}{2^{m+1}}\big]}$$ Si no me equivoqué con los signos, obtenemos que $$\|f_{2^m}-f_{2^{m-1}}\|_1=2\cdot 2^{m-1}\cdot 2\cdot 2^{-(m+1)}=1$$ Esto demuestra que $\{f_n\}$ (no $\{f_{2^m}\}$ ) no es una secuencia de Cauchy en $L_1$ . Esto también demuestra que $f_n$ no converge puntualmente a.s. (la convergencia dominada le daría una contradicción).