Familia de círculos ortogonales a dos círculos dados

Question

El problema en el que estoy trabajando requiere que encuentre la familia de circunferencias ortogonales a dos circunferencias dadas en el plano complejo, a saber $\delta \Delta(1)$ y $\delta \Delta (1,2)$ (que son los círculos centrados en el origen con radio 1 y el círculo centrado en (1,0) con radio 2).

Lo que he intentado hacer hasta ahora es enviar estos círculos a líneas paralelas utilizando la transformación z $\rightarrow$ $1/(z+1)$ . Las imágenes de estos círculos bajo esta transformación son las líneas verticales z = 1/2 y z =1 respectivamente. Así que las líneas perpendiculares a éstas serían las líneas verticales y las preimágenes de éstas nos darían la familia de circunferencias perpendiculares a nuestras circunferencias dadas (ya que el ángulo se conservaría).

Sin embargo, no soy capaz de encontrar las preimágenes de estas líneas en el mapa dado.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Ya casi has llegado. $\newcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\newcommand{\Im}{\operatorname{Im}}$

Aplicación del mapa $\frac1{z+1}$ a $C((0,0),1)$ da la línea $\Re(z)=\frac12$ y aplicando este mapa a $C((1,0),2)$ da la línea $\Re(z)=\frac14$ . Tal y como indicas, los círculos ortogonales a ambos están mapeados en las líneas horizontales $\Im(z)=t$ .

La función inversa a $\frac1{z+1}$ es $\frac1z-1$ . Aplicando esto a la línea $\Im(z)=t$ da un círculo con $\infty\to-1$ y $it\to-1-\frac it$ en su diámetro. Es decir, $$ C\!\left(\left(-1,-\frac1{2t}\right),\frac1{2|t|}\right) $$ Son los círculos tangentes al eje real en $(-1,0)$

Answer 2

Estás utilizando una transformación de Mobius. Su inversa es $$ \frac{-z+1}{z} $$

Obsérvese que una línea es mapeada a un círculo o a una línea bajo una transformación de Mobius.