Determinar una expresión para el volumen en términos de tiempo, V(t).

Question

En la siguiente derivación estoy tratando de determinar una expresión para el volumen en términos de tiempo, V(t). Me dan las ecuaciones. $$\triangle P = \frac{1}{2}\rho u^2$$ $$\triangle P = \rho g h$$ $$\frac{dV}{dt} = -ua$$ $$V(t) = Ah(t)+V_0$$

Combinando la parte superior $2$ ecuaciones y resolviendo para $u$ rendimientos,

$$u = \sqrt{2gh}$$

La condición inicial del problema es $V_0 = 50.$

Abajo están mis trabajos pero estoy teniendo problemas para determinar $V(t)$ .

$$\frac{dV}{dt} = - a \sqrt{2gh}$$ $$\frac{dV}{dt} = -a \sqrt{2g}\cdot\sqrt{\frac{V-V_o}{A}}$$ $$\frac{dV}{\sqrt{\frac{V-V_o}{A}}} = -a \sqrt{2g}dt$$

¿Es esto correcto para determinar $V(t)$ ?

Answer 1

Se ve bien, como se menciona en el comentario vamos a mantener A en la derecha para hacer las cosas más simples. Esta técnica se llama separación de variables. Integrarás el lado izquierdo con respecto a V y el lado derecho con respecto a t.

Empezando por:

$$\frac{dV}{\sqrt{V-50}} = -a\sqrt{\frac{2g}{A}}dt$$

Integramos el lado derecho con respecto a $t$ :

$$\int_{0}^t -a\sqrt{\frac{2g}{A}}dt = -at\ \sqrt{\frac{2g}{A}} $$

Para el lado izquierdo haremos la sustitución

$w = \sqrt{V-V_0} = \sqrt{V-50} \implies V= w^2-50 \implies dV = 2w \ dW$

y obtener

$$\int_{50}^V \frac{dV}{\sqrt{V-50}} = \int_{w(50)}^{w(V)}2\ dw = \int_{0}^{\sqrt{V-50}} 2 \ dw = \left.2w\ \right|_0^{\sqrt{V-50}} = 2\sqrt{V-50}$$

En total,

$$ 2\sqrt{V-50} = -at\ \sqrt{\frac{2g}{A}}$$

$$4(V-50) = (a^2t^2)(\frac{2g}{A})$$

$$V-50 = \frac{(a^2t^2)(\frac{2g}{A})}{4}$$

$$ V = 50 + \frac{(a^2t^2)(\frac{2g}{A})}{4}$$

$$ V = 50 + \frac{a^2t^2g}{2A}$$

$$ V = \frac{100A + a^2t^2g}{2A}$$