Probar que una transformación lineal única es isomorfa

Question

Tengo muchas dudas sobre si mis pruebas a la siguiente pregunta tienen algún sentido. Es la primera vez que me acerco a un problema de este tipo, y por ello mi forma de pensar es propensa al error:

Mi principal preocupación es la pregunta (b). Diré brevemente para (a) que creo que puedo demostrar $\mathscr A = \{T_1,T_2,...,T_n\}$ es una base para $\mathcal L(F,V)$ debido a que cada $T_i(1)=v_i$ es único, lo que significa que $Span \ \mathscr A =V$ como todo vector base en $V$ tiene un mapeo único de $\mathscr A$ por lo que el lapso de $\mathscr A$ contendrá todos los $V$ . Y como $\mathcal L(F,V)$ es el conjunto de todas las transformaciones lineales de $F \to V$ pero cada vector base de $V$ tiene un único mapeo lineal desde $F$ contenida en $\mathscr A$ sólo puede significar $\mathscr A$ abarca $\mathcal L(F,V)$ .

Con esto fuera del camino, espero poder usar este conocimiento (o no) para responder a (b).

Para que $_L$ para ser un isomorfismo, debe ser biyectiva y $dim \ V = dim \ \mathcal L(F,V).$ Primero intentaré demostrar $_L$ es inyectiva y suryente.

Inyectabilidad

Demostraré la inyectividad por contradicción.

Para $_L$ para no ser inyectiva, deben existir dos vectores en $V$ tal que $$_L(v_n) = \ _L(v_m) , \ v_n \neq v_m$$

$$\implies _L(v_n-v_m) = 0 = T_{nm}, \ \ v_n-v_m \in V, T_{nm} \in \mathcal L(F,V)$$

$$\implies _L(v_n)-_L(v_m) = \sum_{i=1}^n \alpha_i T_i = 0$$

$$\implies \sum_{i=1}^n \beta_i T_i - \sum_{i=1}^n \gamma_i T_i = \sum_{i=1}^n \alpha_i T_i = 0, \forall \beta, \gamma, \alpha \in F$$

$$\implies \sum_{i=1}^n (\beta_i - \gamma_i) \ T_i = 0$$

Sin embargo, como $T_i$ es único, no existe ningún $T_i$ tal que $T_i(1) = 0$ a menos que $v$ es el $0$ vector de $V$ . Por lo tanto, la única solución es $\beta_i = \gamma_i$ lo que implica.., $v_n = v_m$ y que este mapeo es efectivamente inyectivo.

Sobre la subjetividad

Para la subjetividad, mi respuesta fue inusualmente corta, lo que me hace dudar de que realmente lo haya demostrado.

Lo demostraré por contradicción.

Para el mapeo $_L$ no sea sobreyectiva, se requiere que

$$\exists \ T_n \in \mathcal L(F,V) : \sum_{i=1}^n \alpha_i \ _L (v_i) \neq T_n$$

Como $\sum_{i=1}^n \alpha_i \ _L (v_i) = \mathcal L(F,V).$ Sin embargo, esto es imposible, ya que $_L(v_i) = T_i$ y así para cualquier $T_n \ \exists \ _L(v_n)$ tal que $\sum_{i=1}^n \alpha_i \ _L (v_i) = T_n$ . Por lo tanto, el mapeo es surjetivo, y por lo tanto $_L$ es una biyección.

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Todo lo que queda es mostrar $dim \ V = dim \ \mathcal L(F,V)$ . Se entiende en la pregunta que $dim \ V = n$ . Sin embargo, también hay que tener en cuenta $\mathscr A$ es una base y $T_i(1) = v_i$ esto implica para cada vector base en $\mathcal L(F,V)$ (como hemos dicho que $\mathscr A$ es una base para $\mathcal L(F,V)$ ) existe un mapeo único a un vector base en $V$ . Así, la dimensión de $\mathcal L(F,V)$ no puede ser otra cosa que $n$ . Por lo tanto, $_L$ es un isomorfismo.

Soy muy inexperta en la redacción de pruebas, así que, por favor, hazme saber si he cometido algún error, en cuanto al proceso y en cuanto a pequeños detalles.

Answer 1

A) Como implícitamente (debería haber) utilizado, existe un único mapa lineal $T_v:F\to V$ con $T_v(1)=v$ para cualquier vector $v\in V$ no sólo para los vectores base elegidos.
En concreto, es $T_v(\lambda)=\lambda v$ .

Lo que has escrito, tal y como está, tiene poco sentido porque en algún punto ya pareces identificar/confundir elementos de $\mathcal L(F, V)$ con elementos de $V$ y utilizar sólo los vectores base en lugar de los elementos genéricos de $V$ .

En cambio, debe demostrar que $T_1,\dots, T_n$ es linealmente independiente y abarca todos los $\mathcal L(F, V)$ .
Alternativamente, se puede demostrar que realmente $v\mapsto T_v$ es un isomorfismo, y como tal, lleva automáticamente la base a la base.
(Se puede observar que este mapa es sólo $\iota$ y, por lo tanto, b) implica a).

b) Para demostrar que un mapa lineal es un isomorfismo, basta con demostrar 2 de las 3 condiciones que has indicado, por ejemplo que sea inyectivo y suryente.

Tu prueba sobre la inyectividad parece considerar sólo los vectores base, lo cual no es correcto. Sin embargo, utilizando la sustracción, podemos ver que un mapa lineal $f$ es inyectiva si $f(v)=0\implies v=0$ .
Por lo tanto, dejemos que $v=\alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n$ . Entonces $\iota(v)=\dots$ lo hacen cuando es cero, $\dots$

Para la subjetividad, dejemos que $T\in\mathcal L(F, V)$ arbitrario, entonces $\dots$ por lo que encontramos un vector $v\in V$ tal que $\iota(v)=T$ .

Y, por cierto, si a) se hace correctamente, la igualdad de las dimensiones es directa, ya que ambos espacios tienen una base de $n$ elementos (lo que significa que su dimensión es $n$ ).