¿Cómo demostrar la propiedad de la suma de potencias de las raíces de la unidad?

Question

Sabemos que $1+\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{n-1}=0$ donde $\alpha_i$ son las raíces de $z^n=1$ . ¿Cómo puedo demostrarlo? $$1+\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i^m=\begin{cases}0\quad m\in Z,m\not\equiv0\pmod n\\n\quad m\in Z,m\equiv0\pmod n\\\end{cases}$$

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir $\alpha_k=e^{i\frac{2\pi}{n}k}$ entonces si $m$ es un múltiplo de $n$ tenemos $\alpha_k^m=1$ Así pues, tenemos $$1+\sum_{k=1}^{n-1} 1=n$$ de lo contrario obtenemos que $\alpha_1^m \neq 1$ . Entonces obtenemos \begin {align*} 1+ \sum_ {k=1}^{n-1} \alpha_k ^m &= \sum_ {k=0}^{n-1} e^{i \frac {2 \pi }{n}mk} \\ &= \frac {1-e^{i2 \pi m}}{1-e^{i \frac {2 \pi }{n}m}} \\ &= \frac {0}{1-e^{i \frac {2 \pi }{n}m}}=0 \end {align*}

Answer 2

Las raíces de $z^n=1$ son $\alpha_k= \omega^k$ , donde $\omega = \exp(2\pi i/n)$ .

Cuando $m$ y $n$ son coprimos, el mapa $z \mapsto z^m$ permuta estas raíces y así $$ 1^m+\alpha_1^m+\alpha_2^m+\cdots+\alpha_{n-1}^m =1+\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_{n-1} =0 $$

Cuando $m$ es un múltiplo de $n$ el mapa $z \mapsto z^m$ es el mapa constante $1$ en estas raíces y así $$ 1^m+\alpha_1^m+\alpha_2^m+\cdots+\alpha_{n-1}^m =1+1+1+\cdots+1 =n $$

Cuando $1 < \gcd(m,n)=d< n$ , se obtiene $d$ sumas de la misma forma, pero ahora para $n/d$ -raíces de la unidad y por lo tanto es $0$ de nuevo, por el primer caso.

Por ejemplo, tome $n=6$ y $m=2$ . Entonces $$ \omega^0+\omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8+\omega^{10} = \omega^0+\omega^2+\omega^4+\omega^0+\omega^2+\omega^{4} = 2(\lambda^0+\lambda^1+\lambda^2) $$ donde $\lambda=\omega^2$ es la raíz cúbica primitiva de la unidad.