¿Fórmulas exactas para la función de partición?

Question

Tengo curiosidad, ¿qué tipo de fórmulas exactas existen para la función de partición $p(n)$ ?

Creo recordar una fórmula exacta del tipo $p(n) = \sum_k f(n, k)$ , donde $f(n, k)$ era una función trascendental extremadamente complicada, y la aproximación era tan buena que para grandes $n$ uno podría simplemente tomar el $k = 1$ y truncarlo al número entero más cercano para obtener una fórmula exacta.

Revisando la literatura, parece que recordé mal la fórmula exacta de Rademacher, que es del tipo anterior pero que requiere más de un término. Tengo curiosidad por saber si existen otras fórmulas exactas, especialmente del tipo que he mencionado.

Además, si efectivamente estoy equivocado y no se ha demostrado tal fórmula, ¿hay alguna buena razón por la que sería ingenuo esperar una?

Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de si esto debería ser un comentario o una respuesta: curiosamente falta en todos los enlaces anteriores que la función generadora de las particiones enteras satisfaga una ecuación diferencial algebraica razonablemente bonita (de orden cuatro, homogénea de grado cuatro):

$$\begin{multline*} 4F^3 F'' + 5x F^3 F''' + x^2 F^3 F^{(\rm iv)} - 16F^2 F'^2 - 15x F^2 F' F'' + 20x^2 F^2 F' F'''\\ - 39x^2 F^2 F''^2 + 10x F F'^3 + 12x^2 F F'^2 F'' + 6x^2 F'^4 = 0 \end{multline*}$$

En realidad también hay una ecuación diferencial de orden 3, pero no es tan bonita.

Según Don Zagier [The 1-2-3 of modular forms, Section 5.1, Proposition 15] ya Ramanujan sabía que toda forma modular y cuasimodular en $\Gamma_1$ satisface una ecuación algebraica diferencial de tercer orden. La ecuación anterior se encuentra dados los primeros 39 términos por

guessADE(\[partition n for n in 0..39\], homogeneous==4) 

de FriCAS en menos de 0,01 segundos.

Answer 2

Jan Bruinier y Ken Ono acaban de anunciar este .

Answer 3

Esto no responde realmente a la pregunta, así que quizás sería mejor como comentario, pero por desgracia, no tengo la reputación necesaria.

Siguiendo la referencia de Thomas Bloom al trabajo de Bringmann y Ono, hay un artículo de Folsom y Masri (Mathematische Annalen, disponible aquí: http://www.math.yale.edu/~alf8/Folsom-Masri-MathAnn07-10.pdf ) que considera el término principal que se obtendría en una fórmula asintótica derivada de la fórmula de la serie de Poincare de BO. En particular, también consideran el problema del error derivado de truncar la suma infinita en $O(n^{1/2})$ obteniendo un ahorro de energía respecto a los mejores resultados conocidos de $O(n^{-1/2+\epsilon})$ si se trunca en $\lfloor \sqrt{n/6} \rfloor$ .

Answer 4

En respuesta a "¿Qué tipo de fórmulas exactas existen para la función de partición?", véase http://arxiv.org/abs/1103.1585 (10), (11) y (12).