Demostrando que un espacio métrico es un grupo

Question

Estoy atascado en este relativamente difícil problema.

• Deje $G$ ser un conjunto no vacío, $d$ a una distancia $G$ $\cdot$ asociativa operación $G$

• $\cdot$ es tal que $$\forall a \in G , \forall x \in G ,\forall y \in G,( a\cdot x =a \cdot y) \Rightarrow x=y$$

y $$\forall a \in G , \forall x \in G ,\forall y \in G, (x\cdot a =y \cdot a) \Rightarrow x=y$$

• $\cdot$ es continua

• $(G,d)$ es compacto

Demostrar que $(G,\cdot)$ es un grupo, y que la función inversa ($x \rightarrow x^{-1}$) es continua

¿Qué necesito para encontrar la primera es un elemento de identidad. Mi conjetura es que debo considerar el mínimo de $m$ de la función de $f_x:y \rightarrow d(x\cdot y,x)$ (que existe desde $f_x$ tiene un dominio compacto, y su codominio es $\mathbb R$).

No sé cómo demostrar que $m=0$, aunque...

Answer 1

El hecho de que esta $G$ es un grupo es un teorema de Nakamura, disponible en http://ousar.lib.okayama-u.ac.jp/file/33720/fulltext.pdf, ver teorema 1. La prueba no es difícil, pero un poco largo.

Para demostrar que la inversa es continua, supongamos que no lo es. Desde nuestro grupo es metrizable, es suficiente para trabajar con límites de secuencias (incluso si no metrizable, uno puede ejecutar un argumento similar con redes en su lugar). Entonces existe $x\in G$ y una secuencia $x_i$ convergentes a$x$, de modo que $x^{-1}\ne y=\lim_{i} x_i^{-1}$. Tenga en cuenta que desde $G$ es compacto, trabajando con las subsecuencias, basta considerar el caso cuando la secuencia de $(x_i^{-1})$ converge a algunos $y\in G$$y\ne x^{-1}$. Tenemos, entonces, por la continuidad de la multiplicación, que: $$yx= \lim_{i} (x_i^{-1} x)= \lim_i 1= 1.$$ Por la misma razón, $xy=1$. Por lo tanto, $y=x^{-1}$, lo cual es una contradicción.