Qué hay de malo en afirmar que sobre dos masas idénticas a diferentes alturas actúan fuerzas gravitatorias iguales, ya que tienen la misma aceleración $g$ ?

Question

Esto puede ser una estupidez pero necesito una respuesta.

La segunda ley de Newton establece que la fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo por la aceleración del mismo. Y la ley de la gravitación establece que: $$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$

Mi pregunta es: si tomo dos masas idénticas y coloco una más alta que la otra, entonces una experimenta mayor fuerza gravitacional que la otra. Ambas se aceleran a la misma velocidad $g$ . Si esto es así, según la segunda ley de Newton las fuerzas sobre los cuerpos deben ser iguales.

¿En qué me equivoco?

Answer 1

La respuesta es que los objetos que caen no se aceleran todos hacia la Tierra a la misma velocidad de $9.8 \text{ m/s}^2$ .

Todos los objetos, en la superficie de la Tierra aceleran lo mismo, independientemente de su masa. Además, todos los objetos que se encuentran a la misma distancia del centro de la Tierra aceleran a la misma velocidad. Pero los objetos a diferentes alturas no aceleran exactamente igual. De lo contrario, ¿cómo podrían escapar de la gravedad de la Tierra?

La forma más correcta de calcular la aceleración es hacerlo como tú lo has hecho, utilizando la 2ª Ley de Newton y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

Los profesores de física suelen enseñar en sus clases que todos los objetos se aceleran a la misma velocidad y luego no hacen hincapié en los límites de esa afirmación.

Answer 2

Esto tiene que ver con el factor de $1/r^2$ en la fuerza gravitacional. En su ejemplo, la cantidad $r$ es la distancia al centro de la Tierra. Por tanto, las pequeñas diferencias de altura durante un experimento son completamente despreciables.

Sin embargo, los experimentos de alta precisión sí que encuentran una diferencia en la fuerza gravitatoria (o equivalentemente en el valor de $g$ ) a través de la Tierra y, por tanto, a través de diferentes distancias al centro de la Tierra: http://www.geophys.ac.cn/infowin/Gravity.asp

Answer 3

Mi pregunta es: si tomo dos masas idénticas y coloco una más alta que la otra, entonces una experimenta mayor fuerza gravitacional que la otra. Ambas aceleran a la misma velocidad g. Si esto es así, según la segunda ley de Newton las fuerzas sobre los cuerpos deben ser iguales.

Este enlace lo aclara

hay

$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$ la ley de la gravitación universal

$m_1$ y $m_2$ son dos masas cualesquiera. En el caso de $m_1$ siendo la tierra y $m_2$ otra masa

se llega a

$F=m_2g$ donde g es la aceleración y depende de la masa de la tierra, y de la distancia al centro de masa, como se ve en el enlace.

La confusión se debe a que se ignoran los órdenes de magnitud: la masa de la Tierra es mucho mayor que cualquier masa terrestre que $r$ La dependencia en la fórmula puede ser ignorada dentro de los errores experimentales a menos que se tenga especial cuidado.

Answer 4

Aquí el problema es que has ignorado los órdenes de magnitud. El radio de la Tierra es mucho mayor que la diferencia de altura considerada aquí. En consecuencia, podemos despreciar razonablemente esta diferencia con respecto al radio de la Tierra y obtener que la fuerza gravitatoria entre las masas idénticas y la Tierra es igual. Sin embargo, si la medición de las fuerzas se realiza con gran precisión en situaciones idealizadas, entonces podemos encontrar que la fuerza de gravedad sobre la masa inferior es efectivamente mayor que la de la masa superior por una pequeña cantidad.

Answer 5

El valor de la fuerza ejercida sobre ambos por la Tierra no es el mismo, y el valor de sus aceleraciones no es el mismo. Si haces las ecuaciones verás que la segunda ley de Newton se cumple definitivamente en este caso.

Creo que estás confundido porque pensabas que la aceleración de un cuerpo hacia la Tierra es siempre igual a "g", pero no es así. El valor de la aceleración gravitatoria es g sólo para los cuerpos que están cerca de la superficie de la Tierra. Para que te hagas una idea, te voy a dar algunas fórmulas. Para una medida exacta de la aceleración que varía con la altura podemos utilizar

Para un cuerpo de masa m a una altura h de la superficie de la Tierra que tiene una masa M y un radio R,

$$ F = \frac{GMm}{(R+h)^2} \\ a = \frac{F}{m} \\ a = \frac{GM}{(R+h)^2} $$

También utilizamos a veces una aproximación para alturas menores (en comparación con el radio de la Tierra): Tenemos, $$ a = \frac{GM}{(R+h)^2}\\ \implies a = (GM)(R+h)^{-2}\\ \implies a = \frac{GM}{R^2} [1 + \frac{h}{R}]^{-2} $$ Podemos utilizar la aproximación binomial en esto, lo que nos da:

Desde $h << R$ , $$ a = \frac{GM}{R^2} [1 - \frac{2h}{R}] $$ ya que sabemos que $g = \frac{GM}{R^2}$ podemos sustituir esto para obtener, $$ a = g_{height=h} = g [1 - \frac{2h}{R}] $$ Espero que esto aclare su confusión.