¿Es posible sustituir el Axioma de Extensionalidad por un formalismo procedente de la lógica, concretamente el siguiente? $\forall a \forall b (a=b\Leftrightarrow \forall P (P (a)\Leftrightarrow P (b)))$ ( $ P $ es obviamente un predicado)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En general, el axioma $$ (\forall P)[P(a) \Leftrightarrow P(b)] \Rightarrow a=b $$ es un axioma de extensionalidad. Se conoce con el nombre de "ley de Leibniz".
El primer problema, sin embargo, es cómo cuantificar sobre $P$ . Por lo general, esto se hace en la lógica de segundo orden, en lugar de la lógica de primer orden.
En la lógica de primer orden, la que se utiliza para estudiar la ZFC, la única cuantificación posible es sobre conjuntos. No se puede cuantificar sobre fórmulas, predicados o cualquier otra cosa. Sin el axioma de extensionalidad, es posible que dos conjuntos contengan todos los mismos elementos, pero que no sean iguales. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si cada conjunto tiene también una "etiqueta" que es visible para nosotros pero no para el lenguaje de ZFC. Para una analogía de la vida real, una clase de matemáticas y otra de historia podrían contener los mismos estudiantes sin ser la misma clase.
En la lógica de segundo orden, si tomamos el cuantificador sobre predicados para abarcar todo predicados, entonces como indica la respuesta de Hagen von Eitzen podemos considerar el predicado $P_a(x) \equiv x = a$ . Sin embargo, como se explica en Wikipedia Los filósofos que estudian la ley de Leibniz pueden rechazar el predicado $P_a$ porque hace que la ley sea trivial. También hay un artículo sobre la ley de Leibniz en el Enciclopedia Stanford de Filosofía .
DanV
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281
Como ha comentado Peter, el axioma que has definido no es un axioma de primer orden porque cuantificas sobre predicados.
Una forma de resolver esto es que en lugar de cuantificar sobre los predicados, se añade un esquema sobre todos los predicados del lenguaje. Pero el lenguaje de la teoría de conjuntos sólo contiene un símbolo extralógico: $\in$ y eso es una relación binaria.
Una forma de resolver que es añadir un esquema de axiomas sobre todas las fórmulas con exactamente una variable libre. Pero ese no es un buen resultado, porque en algunos modelos de teoría de conjuntos se pueden encontrar elementos indiscernibles que satisfacen, entre otras cosas, las mismas fórmulas con una variable libre.
Pero el axioma de extensionalidad tiene un papel diferente. Tiene el papel de permitir que los modelos de la teoría de conjuntos distingan sus objetos internamente sólo mediante el uso de $\in$ . De hecho, en algunos textos muy antiguos donde $=$ no solía incluirse en el lenguaje (ni en la lógica), el símbolo $=$ se definió de forma que el axioma de extensionalidad quedara vacuo.
Hagen von Eitzen
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171160
El $\Rightarrow$ parte de lo que has escrito ya forma parte del axiomas de igualdad asumido en la lógica de primer orden (aunque en realidad es un axioma esquema si queremos mantenernos dentro de la lógica de primer orden). Para la otra dirección, suponiendo $a\ne b$ el predicado $P(x)\equiv x=a$ es uno con $P(a)\not\Leftrightarrow P(b)$ Por lo tanto, no se gana nada. El axioma de extensionalidad es más que esto: Afirma que se pueden distinguir conjuntos diferentes por los elementos que contienen. No hay dos conjuntos con los mismos elementos pero con diferente color de pelo.
Njax3SmmM2x2a0Zf7Hpd
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146
Tu definición de identidad, en la que cuantificas en posición de predicado, está de hecho disponible de forma estándar en la lógica de segundo orden. Pero pasar de la ZF(C) de primer orden a una formulación de segundo orden en general -en la que, por ejemplo, ahora se pueden cambiar todas las instancias del esquema axiomático de separación por un único axioma de segundo orden- supone un fortalecimiento significativo de la teoría, que no es lo que pretendías, imagino.
