Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:
Dejemos que $\alpha(s) = (x(s), y(s))$ ser un regular curva parametrizada por la longitud de arco.
Dejemos que $\beta(s) = \alpha(s) + \frac{1}{k(s)} \cdot n(s) $ , donde $k(s)$ es el curvatura de $\alpha(s)$ y $n(s) = (-y(s), x(s))$ es la función vectorial normal.
(a) Demuestre que $\beta$ es diferenciable si $k(s) \neq 0 \;\; \forall s$ . [Lo he hecho]
(b) Demuestre que, si $k(s) \neq 0 \;\; \forall s$ entonces $\beta$ es regular si $k'(s) \neq 0 \;\; \forall s$ . [Estoy atrapado aquí] .
- Una curva $\alpha(s)$ es regular si $\lvert \alpha(s) \rvert \neq 0 \;\; \forall s$ .
- El curvatura de una curva $\alpha(s) = (x(s), y(s))$ parametizado por la longitud de arco es $k(s) = \langle t'(s), n(s)\rangle$ , donde $t'(s) = (x''(s), y''(s))$ .
Lo que ya he hecho:
He derivado $\beta$ y encontró que $$\beta'(s) = \alpha'(s) + \frac{k(s)}{k^2(s)} \cdot n'(s) - \frac{k'(s)}{k^2(s)} \cdot n(s).$$
He intentado demostrar el contrapositivo, suponiendo la existencia de un número $s$ tal que $\lvert \beta'(s) \rvert = 0$ . Esto me llevó a $\beta'(s) = (0,0)$ y así
$$ \left(x' - \frac{k}{k^2}\cdot y'' + \frac{k'}{k^2}\cdot y' \;,\; y' + \frac{k}{k^2}\cdot x'' - \frac{k'}{k^2}\cdot x' \right) = (0,0). $$
Por último, he multiplicado por $k^2$ para obtener dos igualdades:
$$ k^2 x' - k y'' + k'y' = 0 $$ $$ k^2 y' - k x'' + k'x' = 0. $$
Ahora parece que no puedo encontrar una contradicción.
Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.
