Escoge un único conjunto de $k$ colores del conjunto de $x$ colores disponibles y olvida el resto de colores por el momento. Obviamente, puede hacerlo en $\binom xk$ diferentes maneras.
¿Cuántas secuencias de longitud $n$ están allí con todas las bolas que tienen un color del conjunto elegido de $k$ colores, apareciendo cada color en la secuencia al menos una vez?
Utilizaremos el inclusión-exclusión principio. Comencemos con el número total de secuencias, que es $k^n$ .
Luego eliminaremos todas las secuencias a las que les falte un color. Ese número es $\binom k1 (k-1)^n$ . ¿Por qué es así? Puede elegir un color que falte en $\binom k1$ diferentes maneras, con $n$ bolas de la secuencia que tienen los (k-1) colores restantes.
Pero en ese conjunto se cuentan dos veces las secuencias a las que les faltan dos colores, por lo que hay que sumar el número de secuencias a las que les faltan dos colores. Y ese número es $\binom k2 (k-2)^n$ . Puede elegir dos colores que faltan en $\binom k2$ diferentes maneras, con $n$ bolas en la secuencia que tienen los (k-2) colores restantes.
Repita el mismo proceso hasta $(k-1)$ colores que faltan y obtendrá el número total de secuencias de longitud $n$ con colores del conjunto predefinido de $k$ colores y no falta ningún color:
$$k^n-\binom k1 (k- 1)^n\tag{1}+\binom k2 (k- 2)^n-\binom k3 (k- 3)^n+\dots=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom ki(k-i)^n$$
Pero puede seleccionar un conjunto de $k$ diferentes colores en $\binom xk$ diferentes maneras. Así que el número total de todo secuencias con exactamente $k$ diferentes colores es:
$$\binom xk\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom ki(k-i)^n$$
Obsérvese que aquí se permite la multiplicación: dos secuencias que tengan dos conjuntos diferentes de $k$ Los colores son siempre diferentes, así que nada se cuenta dos veces aquí.
El número total de secuencias, sin restricciones en los colores de las bolas es simplemente $x^n$ . Por lo tanto, la probabilidad debe ser:
$$P=\frac{\binom xk\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom ki(k-i)^n}{x^n}$$
