¿Por qué los pedidos se formalizan mediante desigualdades débiles?

Question

Los pedidos parciales se formalizan mediante desigualdades débiles $\geq$ en lugar de las estrictas $>$ . A continuación, añadimos un axioma adicional que dice que $x\geq y\land y\geq x$ implica $x=y$ .

Pero me parece que podemos hablar en cambio de desigualdades estrictas, y sustituir ese axioma por el axioma de que $x>y\implies \neg y>x$ y que $\neg x>x$ .

No estoy afirmando que esto sea "mejor", sólo que me parece un poco más intuitivo a primera vista. ¿Por qué se ha optado por formalizar los pedidos según desigualdades débiles, en lugar de estrictas?

Answer 1

La razón es que existe la noción conexa de preordenar que es una relación binaria reflexiva y transitiva. Un preorden antisimétrico es un orden parcial. Además, si $\leqslant$ es una preorden en $X$ , entonces la relación $\sim$ definido por $$ a \sim b \iff a \leqslant b\text{ and } b \leqslant a $$ es una relación de equivalencia, y el preorden $\leqslant$ induce un orden parcial en el conjunto $X/{\sim}$ . Esta construcción se da a menudo en las matemáticas.

Como no se puede utilizar $<$ para definir un preorden, la notación $\leqslant$ es preferible, incluso para un pedido.