Dé un ejemplo de una función en la que $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe y es finito, pero $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ no existe.
¿La función $f(x)=\sin(x^2)/x$ ¿cumplen estos criterios?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Technophile
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Para su función, $\lim_{x\to\infty}f(x)$ es claramente 0, mientras que su derivada es $$\frac{2x^2\cos x^2-\sin x^2}{x^2}=2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}$$ Consideremos ahora las dos secuencias de números reales $x_n=\sqrt{2n\pi}$ y $y_n=\sqrt{(2n+1)\pi}$ . Es fácil demostrar que $f'(x_n)=2$ y $f'(y_n)=-2$ por lo que dos subsecuentes en $f'(x)$ convergen a diferentes límites y $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ no existe.
Charalampos Filippatos
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Sí, la función cumple este criterio. Para una elaboración completa :
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x^2}{x} = 0$$
desde $ -1 \leq \sin x \leq 1$ y por lo tanto sólo será un número dividido por el infinito.
El límite de la derivada de esta función sin embargo, realmente no existe, ya que :
$$f'(x) = \frac{2x^2\cos x^2-\sin x^2}{x^2}=2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}$$
y luego, el límite :
$$\lim_{x \to \infty} \bigg(2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}\bigg) = \lim_{x \to \infty}2\cos x^2$$
Ahora, sabemos que también $-1 \leq \cos x^2 \leq 1$ pero $x \to \infty$ significa que no se puede conocer el valor exacto del límite, ya que "fluctúa". Por lo tanto, el límite no existe y lo único que se puede decir es que :
$$\lim_{x \to \infty}2\cos x^2 \in [-2,2]$$
Una forma más rigurosa de demostrar que el límite no existe :
Dejemos que $x_n = \sqrt{2n\pi}$ y $y_n = \sqrt{(2n+1)\pi}$ sean dos secuencias de números reales. Introduciendo estos en la expresión de la derivada, se puede ver claramente que $f'(x_n) \neq f'(y_n)$ y por lo tanto estas dos secuencias convergen a un número aleatorio diferente, lo que lleva estrictamente a la conclusión de que $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ .
Nota : Hay que dar crédito a Parcly Taxel por haber escrito también el planteamiento de la secuencia estándar mientras yo formulaba mi respuesta.
