Comprensión de $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1} {n+1}=0$ .

Question

Prueba. Sea $\varepsilon>0$ . Tenemos que encontrar $N$ en $\mathbb{N}$ tal que $\dfrac {1} {n+1} < \varepsilon$ para cualquier $n\geq N$ . Por la propiedad de Arquímedes, existe un $N$ en $\mathbb{N}$ que es mayor que $\dfrac {1} {\varepsilon }-1$ . Así que, como $N>\dfrac {1} {\varepsilon }-1$ tenemos $\dfrac {1} {N+1}<\varepsilon$ Para $n\geq N$ tenemos $\dfrac {1} {n+1} \leq \dfrac {1} {N+1} < \varepsilon$ .

Mi pregunta es: Para $n\geq N$ Cómo hemos $\dfrac {1} {n+1} \leq \dfrac {1} {N+1}$ ?

Answer 1

$$\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{N+1} \iff N+1 \leq n+1 \iff n \geq N$$

Answer 2

Dividiendo por un más grande número da un más pequeño resultado (estoy asumiendo números positivos aquí). Por ejemplo, $7>6$ pero $$ \frac17 < \frac16 .$$ Así que si $n \geq N$ entonces también $n+1\geq N+1$ . Esto significa que $$ \frac1{n+1} \leq \frac1{N+1} .$$