Confusión con la notación de Trace y Dirac (Bra-Ket)

Question

Estoy confundido con lo siguiente:

Dejemos que $|\psi\rangle$ y $|\phi\rangle$ sean dos vectores de estado de qubits, con vectores Bloch $\mathbf{n}$ y $\mathbf{m}$ respectivamente. $$P_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|\\ P_\phi = |\phi\rangle\langle\phi| $$

Entonces, $$ \begin{align} \text{Tr}(P_\psi P_\phi) &= \text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi| |\phi\rangle\langle\phi|) \\&= \text{Tr}(\langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle) \\&= | \langle\psi|\phi\rangle | ^2 \end{align} $$

No entiendo cómo se consigue $\langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle$ de $|\psi\rangle\langle\psi| |\phi\rangle\langle\phi|$ . Ni siquiera me parece que tenga sentido ya que $\langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle$ es un escalar y $|\psi\rangle\langle\psi| |\phi\rangle\langle\phi|$ un operador.

Además, ¿tiene sentido tomar la traza de un escalar? ¿La traza de un escalar es el propio escalar? Si es así, entiendo que tendríamos $$ \begin{align} \text{Tr}(\langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle) &= \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle \\&= \langle\psi|\phi\rangle (\langle\psi|\phi\rangle)^* \\&= | \langle\psi|\phi\rangle | ^2 \end{align} $$

Answer 1

$\langle\psi |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle$ es una matriz 1x1 (escalar) y la traza de una matriz 1x1 es el propio escalar. Por lo tanto,

$$ \text{Tr}(\langle\psi |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle) = \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle $$

O, en inglés, ¡la traza de un escalar es el propio escalar!

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No tiene nada que ver con el hecho de que $$ |\psi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\phi| \neq \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle $$ En cambio, tiene que ver con $$ \text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA) $$ (Si A es un $m × n$ y B una $n × m$ matriz)

Entonces, no hay nada de malo en ello: $$ \begin{align} \text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi |\phi\rangle\langle\phi|) &= \text{Tr}(\langle\psi |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle) \\&= \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle \\&= \langle\psi|\phi\rangle \overline{\langle\psi|\phi\rangle} \\&= | \langle\psi|\phi\rangle | ^2 \end{align} $$

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Respuesta original

Esta es la respuesta que propongo:

$$ \begin{align} \text{Tr}(P_\psi P_\phi) &= \text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi| |\phi\rangle\langle\phi|) \\&= \langle\psi|\phi\rangle \text{Tr}(|\psi\rangle\langle\phi|) \\&= \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle \\&= \langle\psi|\phi\rangle \overline{\langle\psi|\phi\rangle} \\&= | \langle\psi|\phi\rangle | ^2 \end{align} $$ que coincide con la respuesta original. No obstante, sigo pensando que el método ilustrado en la pregunta es erróneo. Es decir, que: $ |\psi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\phi| \neq \langle\psi|\phi\rangle \langle\phi|\psi\rangle $ donde el LHS es un operador y el RHS un escalar.

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Por cierto, $$ \text{Tr}(|\psi\rangle\langle\phi|) = \langle\phi|\psi\rangle $$ viene de $$ \langle\phi|\psi\rangle = \sum_n \langle\phi|n\rangle\langle n|\psi\rangle $$

Answer 2

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert{#1}\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}\rvert} \newcommand{\braket}[2]{\langle{#1}|{#2}\rangle} \DeclareMathOperator{tr}{tr}$ Sí, la traza de un escalar es el propio escalar, pero $P_\psi P_\phi$ no es un escalar. Tiene \begin {equation*} \tr ( \ket { \psi } \bra { \psi } \ket { \phi } \bra { \phi })= \tr ( \ket { \psi } \braket { \psi }{ \phi } \bra { \phi })= \braket { \psi }{ \phi } \tr ( \ket { \psi } \bra { \phi }), \end {equation*} y creo que en la prueba que has proporcionado han intercambiado las posiciones del sujetador y el ket dentro de la traza, lo cual es incorrecto (no son operadores por sí mismos, y no puedes separarlos). Puedes elegir una base para tu espacio de Hilbert que incluya $\ket{\psi}$ , $\ket{\phi}$ y algunos otros vectores $\ket{i}$ Entonces \begin {equation*} \begin {split} \tr ( \ket { \psi } \bra { \phi })&= \braket { \psi }{ \psi } \braket { \phi }{ \psi }+ \braket { \phi }{ \psi } \braket { \phi }{ \phi }+ \sum_i\braket {i}{ \psi } \braket { \phi }{i}= \\ &= \braket { \phi }{ \psi }+ \braket { \phi }{ \psi }+ \sum_i\braket {i}{ \psi } \braket { \phi }{i}= \\ &= 2 \braket { \phi }{ \psi }+ \sum_i\braket {i}{ \psi } \braket { \phi }{i}, \end {split} \end {equation*} asumiendo que $\ket{\phi}$ y $\ket{\psi}$ están normalizados a 1. Ahora, la traza es independiente de la base, por lo que podemos elegir el $\ket{i}$ como consideremos oportuno: si las tomamos todas ortogonales al subespacio abarcado por $\ket{\phi}$ y $\ket{\psi}$ la expresión anterior se reduce a \begin {equation*} \tr ( \ket { \psi } \bra { \phi })=2 \braket { \phi }{ \psi }. \end {equation*} Por lo tanto \begin {equation*} \tr ( \ket { \psi } \bra { \psi } \ket { \phi } \bra { \phi })= \braket { \psi }{ \phi } \cdot 2 \braket { \phi }{ \psi }= 2 \lvert\braket { \psi }{ \phi } \rvert ^2. \end {equation*}